Alisher navoiy nomidagi

markazi (0,25) nuqtada va radiusi 15 ga teng bo’lgan yopiq doirani hosil qiladi.  

                                                                       

                                              y 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

                                                   

                                                 25 

                   

α

                                                     

                            y               M 

 

 

 

 

 

        

 

 

                   0    

α

                               

 

x 

 

 

                                                                       2-rasm 

                                                                                                                             

 

Rasmdan  ko’rinib  turibdiki,  eng  kichik  argumentli  songa  M  nuqta  mos  keladi, 

bunda  OM  to’g’ri  chiziq  aylanaga  urinadi.  OMC  to’g’ri  burchakli 

uchburchakdan  

20

15

25

2

2

2

2

=

−

=

−

=

MC

OC

OM

, 

5

4

25

20

     

;

5

3

25

15

=

=

=

=

=

=

OC

OM

n

si

OC

MC

s

co

α

α

. 

 

Shuning 

uchun 

16

   

,

12

=

=

=

⋅

=

α

α

n

si

OM

y

s

co

OM

x

, 

ya’ni 

izlanayotgan son  z = 12 + 16i. ■ 

 

12-m i s o l. Quyidagi kompleks sonlarni trigonometrik shaklga keltiring: 

a)  z = 1 - i;  b) z = 

−

3 

−

 4i. 

 

 Yechish. a) a=1, b=

−

1, tg

ϕ

 = 

1

1

1

−

=

−

=

a

b

, 

2

2

2

==

+

=

b

a

r

. 

 

Bu z soni ifodalovchi nuqta to’rtinchi chorakka tegishli. Shuning uchun 

ϕ

 

argumentning qiymati sifatida 

π

4

7

 yoki 











−

4

π

 ni olish mumkin.  

Natijada,  









−

+

−

=

−

)

4

(

)

4

(

2

1

π

π

n

si

i

s

co

i

. 

 

12

 

Shuni  ta’kidlaymizki, 









−

=

−

4

4

2

1

π

π

n

si

i

s

co

i

  tenglik  1

−

i  sonning 

trigonometrik shakli bo’lmaydi.   

b)  a  = 

−

  3,  b  = 

−

  4,  shuning  uchun  r  =  5,  tg

ϕ

  = 

3

4

.  Nuqta  uchinchi 

chorakda  yotganligi  uchun 

ϕ

  argumentning  qiymati  tg

ϕ

    = 

3

4

  va 

π

ϕ

π

2

3

<

<

 

shartlardan  aniqlanadi,  ya’ni 

α

π

ϕ

+

=

,  bunda 

α

  -  burchak 

4

3

=

α

tg

  shartni 

qanoatlantiruvchi  o’tkir  burchak.  Shuning  uchun 

3

4

arctg

=

α

,  ya’ni  -

3

4

arctg

+

=

π

ϕ

. U holda 









+

+

+

=

−

−

)

3

4

(

)

3

4

(

5

4

3

arctg

n

isi

arctg

s

co

i

π

π

. ■ 

 

13-m i s o l. 

α

tg

i

z

+

=

1

 kompleks soni trigonometrik shaklga keltiring, 

bu yerda 

α

 quyidagi shartni qanoatlantiruvchi berilgan burchak:   

a) 0 < 

α

 < 

2

π

 ,   b) 

π

α

π

<

<

2

. 

 

 Yechish. Berilgan z sonning ko’rinishini o’zgartiramiz: 

 

a) 

)

(

1

1

α

α

α

α

α

n

isi

s

co

s

co

s

co

n

si

i

z

+

=

+

=

. 

 

2

0

π

α

<

<

    bo’lganda 

0

1

>

α

s

co

  bo’lganligi  va  qavs  ichida  bita 

argumentning  kosinusi  va  sinusi  turganligi  uchun  oxirgi  ifoda  z  kompleks 

sonning trigonometrik shaklidan iborat; 

 

b)

 

π

α

π

<

<

2

    bo’lganda 

0

1

<

α

s

co

  va  yuqorida  olingan  ifoda  z  sonning 

trigonometrik shakli bo’lmaydi. 

 

z sonning ko’rinishini boshqacharoq o’zgartiramiz: 

[

]

[

]

)

(

)

(

1

)

(

)

(

1

α

π

α

π

α

α

α

α

+

+

+

−

=

−

+

−

−

=

n

si

i

s

co

s

co

n

si

i

s

co

s

co

z

  

Bu ifoda 

π

α

π

<

<

2

 bo’lgan holda z sonning trigonometrik shakli bo’ladi. ■ 

14-m i s o l. w = z

2 

−

 z sonning argumentini toping, bunda  

π

ϕ

ϕ

ϕ

2

0

       

,

≤

≤

+

=

n

si

i

s

co

z

. 

 

 Yechish.  

.

2

2

2

2

2

2

)

n

si

n

i(si

)

s

co

s

(co

)

n

si

i

s

(co

)

s

co

n

si

i

n

si

s

(co

)

n

si

i

s

(co

)

n

si

i

s

(co

w

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

−

+

−

=

+

−

−

+

−

=

+

−

+

=

 

Qavs ichidagi ifodalarni almashtirib, quyidagini hosil qilamiz:  

 

13

.

2

3

2

2

3

2

2

2

2

3

2

3

2

2

2

3

2

2

2

2

3

2









+

+

+

=

=

+

−

=

+

−

=

)

р

(

n

si

i

)

р

(

s

co

n

si

)

s

co

i

n

si

(

n

si

s

co

n

si

i

n

si

n

si

w

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

 

 

π

ϕ

2

0

<

<

  bo’lganda 

0

2

>

ϕ

n

si

  va  hosil  qilingan  ifoda  w  sonning 

trigonometrik shaklidan iborat. Shuning uchun 

2

3

2

ϕ

π

+

=

w

g

ar

. 

 

0

=

ϕ

 bo’lganda 

0

2

=

ϕ

n

si

, bundan w = 0. Bu holda w  sonning argumenti 

aniqlanmagan. ■ 

 

 

M A S H Q L A R 

 

 

13. Quyidagi kompleks sonlarni ifodalovchi nuqtalarni yasang:  

1; 

−

1; i; - i; 

−

1 + i;  2 

−

 3i;  

−

 6 + 3i;  cos 30

°

 

−

 i sin30

°

;   

cos 150

°

 + i sin150

°

. 

 

14.  Kompleks  tekislikda  berilgan  z

1

,  z

2

,  z

3

  nuqtalar  parallelogramning 

ketma-ket uchlaridan iborat. Bu parallelogramning to’rtinchi uchini toping. 

 

15. Kompleks tekislikda z

1 

= 6 + 8i, z

2 

= 4 

−

 3i nuqtalar berilgan. z

1

 va z

2

 

vektorlar  hosil  qilgan  burchak  bissektrisasining  nuqtalariga  mos  keluvchi 

kompleks sonlarni toping. 

 

16. Tenglamani yeching:   

 a) 

i

z

i

z

2

1

−

=

−

;  b) 

0

3

2

=

+

z

z

;  c) 

0

2

2

=

+

z

z

. 

 

17. Tenglamalar sistemasini yeching: 

i

z

z

i

i

z

+

=

−

+

=

−

+

2

3

1

. 

 

18. Tenglamalar sistemasini yeching: 







+

=

+

+

=

+

.

10

5

9

3

      

2

1

i

z

z

z

z

 

 

19. Quyidagi nuqtalarga mos kompleks sonlarni toping:  

a)  markazi  koordinatalar  boshida,  tomonlari  koordinata  o’qlariga  parallel 

va tomonlarining uzunligi 1 ga teng bo’lgan kvadratning uchlariga; 

 

b) markazi koordinatalar boshida, bir tomoni ordinata o’qiga parallel, bita 

uchi manfiy haqiqiy yarim o’qda joylashgan va tashqi chizilgan aylana radiusi 1 

ga teng bo’lgan muntazam uchburchakning uchlariga; 

 

c)  markazi 

3

i

2

+

  nuqtaga  joylashgan,  tomonlaridan  biri  abssissa  o’qiga 

parallel  va  tashqi  chizilgan  aylana  radiusi  2  ga  teng  bo’lgan  muntazam 

oltiburchakning uchlariga. 

 

20.  Tekislikda  quyidagi  shartlarni  qanoatlanturvchi  z  kompleks  sonlarga 

mos keladigan nuqtalar to’plamini tasvirlang: 

a) 

1

=

z

; b) 

3

π

=

z

g

ar

; c) 

2

≤

z

; d) 

1

1

<

−

−

i

z

; e) 

5

4

3

≤

+

+

i

z

;  

 

14

f) 

5

3

<

<

z

; g)

2

2

1

<

−

≤

i

z

; h) 

6

π

<

z

g

ar

; i) 

1

Re

≤

z

;  

j) 

0

1

<

<

−

iz

e

R

; k) 

1

Im

=

z

;  l) 

1

<

+

z

m

I

z

e

R

; m) 

3

1

1

=

+

+

−

z

z

; n) 

3

2

2

=

−

−

+

z

z

; o) 

2

2

+

=

−

z

e

R

z

 ; p) 

.

1

1

z

z

−

<

+

 

 

21. 

1

1

≤

−

+

i

z

  shartni  qanoatlantiruvchi  z  kompleks  sonlar  ichidan  eng 

kichik musbat argumentga ega bo’lgan sonni toping. 

 

22. 

3

5

≤

−

i

z

  shartni  qanoatlantiruvchi  z    kompleks  sonlar  ichidan  eng 

kichik musbat argumentga ega bo’lgan sonni toping. 

 

23.  Oxy  tekislikdagi  qanday 

M(x,y)

  nuqtalar  uchun  quyidagi  tengliklar 

o’rinli:  

a) 

3

2

2

=

+

+

+

y

x

i

y

x

.              b) 

10

4

4

2

=

−

+

+

y

i

x

? 

 

24.  Kompleks  son  moduli  va  argumentini  unga  qo’shma  bo’lgan  son 

moduli va argumenti orqali ifodalang. 

 

25. A va B nuqtalar Oxy tekislikda mos ravishda  a = 6 + 8i  va  

b = 4 

−

 3i sonlarni ifodalaydi. Hech bo’lmaganda bita shunday c soni topingki, 

unga mos keluvchi C nuqta AOB burchakning bissektrisasida yotsin. 

 

26. Qanday shartlar bajarilganda:  

a) 

2

1

2

1

z

z

z

z

+

=

+

;  b) 

2

1

2

1

z

z

z

z

−

=

+

?. 

 

27*.  (-1)  dan  farqli  va  moduli  1  ga  teng  bo’lgan  har  qanday  z  kompleks 

sonni 

ti

ti

z

−

+

=

1

1

, bunda 

R

∈

t

, shaklda tasvirlash mumkinligi ni isbotlang. 

 

28. Kompleks sonlarni trigonometrik shaklga keltiring:  

 

a) 7;   b) i;   c) 

−

3; d) 

−

5i; e) 1+ i 3 ; f) 

−

1+ i

3  g)1

−

 i

3 ; h) 3 + i;  

       i) 

−

3 + i;  j) 

−

3

−

 i;  k)  3

−

 i; l) 1+ i

3

3

; m) 2 + 3 + i;  

n) 1

−

 (2 +

3 i) ; o) cos

α

 

−

 i sin

α

; p) sin

α

 + i cos

α

; q) 

α

α

tg

i

tg

i

−

+

1

1

;  

r) 1+ cos

α

 + isin

α

 ; s) 

−

 sin

α

 

−

 i(1+ cos

α

). 

 

 

29. Kompleks sonlarni algebraik va trigonometrik shaklga keltiring:  

a) 

6

6

3

5

3

5

р

n

isi

р

s

co

р)

n

isi

р

s

i(co

+

+

;      b) 

π

π

3

4

3

4

1

n

isi

s

co

−

;   c) 

2

1 i)

(

i

+

;    

d) 

12

13

12

13

12

5

12

5

π

π

π

π

n

isi

s

co

n

isi

s

co

−

+

−

;    e) 

i

)

i

)(

р

n

isi

р

s

(co

3

3

2

1

3

3

+

−

. 

 

15

 

30. Kompleks sonlarni trigonometrik shaklga keltiring:  

a) 

)

n

isi

s

(co

)i

n

isi

s

(co

0

0

0

0

40

40

3

100

100

5

−

+

;  

 

 b) 

1

5

2

1

5

2

−

−

+

i

р)

s

co

i(

р

n

si

. 

 

31.  Ayniyatni  isbotlang: 

)

(

2

2

2

2

2

y

x

y

x

y

x

+

=

−

+

+

.  Bu  ayniyat 

qanday geometrik ma’noga ega? 

 

3-§. Darajaga ko’tarish va ildiz chiqarish 

 

 

0

≠

+

=

)

n

isi

s

r(co

z

ϕ

ϕ

 bo’lsin. U holda har qanday n butun son uchun  

)