Alisher navoiy nomidagi

2

sin

sin

1

+

+

+

+

. 

56*. Yig’indilarni toping: 

(

)

x

n

x

x

1

2

sin

...

3

sin

sin

2

2

2

−

+

+

+

. 

57. Isbotlang:  

a)

(

)

x

in

s

nx

in

s

x

n

s

co

n

nx

s

co

x

s

co

x

s

co

2

1

2

...

2

2

2

2

+

+

=

+

+

+

; 

b) 

(

)

inx

s

nx

in

s

x

n

s

co

n

nx

in

s

x

in

s

x

in

s

2

1

2

...

2

2

2

2

+

−

=

+

+

+

. 

58*. Yig’indilarni toping:  

a) 

nx

n

x

x

x

cos

...

3

cos

3

2

cos

2

cos

+

+

+

+

; 

b) 

nx

n

x

x

x

sin

...

3

sin

3

2

sin

2

sin

+

+

+

+

. 

 

5-§. Birning ildizlari 

 

Har  qanday  noldan  farqli  kompleks  son  kabi  1  sonning  ham  n–darajali 

ildizi  n  ta  qiymatga  ega. 

0

sin

0

cos

1

i

+

=

  bo’lganligi  uchun  1  ning  n

−

darajali 

ildizlari uchun 

n

in

s

i

n

s

co

πκ

πκ

ε

κ

2

2

+

=

,  

1

....,

,

1

,

0

−

=

n

k

 formula o’rinli. 

1  ning  n

−

darajali  ildizi  boshlang’ich  ildiz  deyiladi,  agar  u  1  ning    n  dan 

kichik  darajali  ildizi  bo’lmasa.  Boshqacha  aytganda, 

ε

    son  1  ning  n

−

darajali 

boshlang’ich  ildizi  bo’ladi,  agar 

1

=

n

ε

  bo’lib,  istagan 

  

n

m

<

uchun 

1

m

≠

ε

 

bo’lsa. 

n

in

s

i

n

s

co

π

π

ε

2

2

1

+

=

  sonning  1  ning  n

−

darajali  boshdang’ich  ildizi 

bo’lishi  ravshan,  lekin    n  >  2    bo’lgandan  undan  boshqa  boshlang’ich  ildizlar 

ham mavjud.  

1-m i s o l. 

n

in

s

i

n

s

co

πκ

πκ

ε

2

2

+

=

 (

2

   

,

1

≥

≥

n

k

-butun sonlar) son 1 ning 

d

n

  darajali  boshlang’ich  ildizi  bo’lishini  ko’rsating,  bu  yerda    d    son    k    va    n 

larning  eng  katta  umumiy  bo’luvchisidan  iborat.  Bu  yerdan  kelib  chiqadiki, 

ε

 

son 1 ning  n

−

darajali boshlang’ich ildizi bo’lishi uchun  k  va  n  larning o’zaro 

tub bo’lishi zarur va yetarlidir.  

 

25

Yechish. 

d

n

n

d

1

1

 

,

=

=

κ

κ

 bo’lsin, bu yera  n

1

  va  

κ

1

  o’zaro tub sonlar. U 

holda 

1

1

1

1

2

sin

2

cos

n

i

n

πκ

πκ

ε

+

=

. 

ε

  ni 

0

   

,

1

>

<

m

n

m

  darajaga  ko’tarib, 

1

1

1

1

2

2

n

m

in

s

i

n

m

s

co

m

κ

π

κ

π

ε

+

=

 ni hosil qilamiz. 

Agar 

1

=

m

ε

  bo’lsa,  u  holda 

s

n

m

π

κ

π

2

2

1

1

=

,  bunda 

Z

∈

s

  yoki 

s

n

m

=

1

1

κ

, 

ya’ni  

m

1

κ

  son  

1

n   ga bo’linadi. Lekin 

1

κ

 va  

1

n  o’zaro tub. Shuning uchun m 

son 

1

n  ga bo’linadi, bu esa  0 < m < 

1

n   shartga zid. 

Shunday  qilib,  0  <  m  < 

1

n

  bo’lganda 

1

≠

m

ε

.  m  = 

1

n   bo’lganda  esa 

1

2

sin

2

cos

1

1

1

=

+

=

πκ

πκ

ε

i

n

.  Bu  yerdan 

ε

  -  son  1  ning 

d

n

n

=

1

  darajali 

boshlang’ich ildizi ekanligi kelib chiqadi. ■ 

 

Bu  misoldan  ko’rinadiki,  1  ning    n-darajali  boshlang’ich  ildizlari  soni    n 

dan  kichik  va  n  bilan  o’zaro  tub  bo’lgan  sonlar  soniga,  ya’ni  Eyler 

funksiyasining  

( )

n

ϕ

  qiymatiga tengdir.  

 

( )

(

)

( )

∏

=

−

=

n

k

n

x

x

X

ϕ

κ

ε

1

  ko’phad,  bu  yerda 

κ

ε

  (

( )

n

ϕ

κ

...,

,

1

,

0

=

)  -  1  ning 

boshlang’iya ildizi, doiraviy ko’phad deyiladi.  

 

2-m i s o l. Birning  6-darajali ildizlarini toping. 

 

Yechilishi: 1 ning n-darajali ildizlari formulasidan:  

5.

0,1,2,3,4,

=

+

=

к

   

,

6

к

2

isin

6

к

2

cos

е

к

π

π

 

ni hosil qilamiz. Natijada, izlanayotgan ildizlar quyidagilardan iborat bo’ladi:  

1

0

0

=

+

=

in

s

i

s0

co

ε

, 

i

i

2

3

2

1

3

sin

3

cos

1

+

=

+

=

π

π

ε

,  

i

i

2

3

2

1

3

2

sin

3

2

cos

2

+

−

=

+

=

π

π

ε

, 

1

sin

cos

3

−

=

+

=

π

π

ε

i

,  

i

i

2

3

2

1

3

4

sin

3

4

cos

4

−

−

=

+

=

π

π

ε

, 

i

i

2

3

2

1

3

5

sin

3

5

cos

5

−

=

+

=

π

π

ε

. ■ 

 

Agar 1 ning n-darajali ildizi 1 ning 

δ

 darajali boshlang’ich ildizi bo’lsa, 

δ

 

son bu ildiz tegishli bo’lgan ko’rsatkich deyiladi.  

 

3-m i s o l. Birning 6-darajali boshlang’ich ildizlarini yozing. 

 

Yechish.  1-misolga  ko’ra  birning  6-darajali  boshlang’ich  ildizlari 

5

,

1

ε

ε

 

lardan, ya’ni 

i

2

3

2

1

±

 lardan iborat. ■ 

 

4-m  i  s  o  l. 

0

1

5

=

−

x

  tenglamani  algebraik  yo’l  bilan  yechib,  1  ning  5-

darajali ildizlarini toping. 

 

Yechish. Tenglamaning chap tomonini ko’paytuvchilarga ajratamiz:  

 

26

(

)

(

)

0

1

1

2

3

4

=

+

+

+

+

−

x

x

x

x

x

. 

Boshlang’ich ildizlar quyidagi tenglamaning ildizlari bo’ladi:  

0

1

2

3

4

=

+

+

+

+

x

x

x

x

. 

Bu  tenglama 

0

1

1

2

2

=

+

+

+

+

−

−

x

x

x

x

  tenglamaga  teng  kuchli. 

1

−

+

=

x

x

z

 

belgilash  kiritamiz. 

2

2

2

2

z

x

x

=

+

+

−

  bo’lishini  e’tiborga  olsak, 

0

1

2

=

−

+

z

z

 

tenglama hosil bo’ladi, bundan 

2

5

2

1

1

+

−

=

z

, 

2

5

2

1

2

−

−

=

z

. 

 

1  ning  ildizlari 

0

1

1

2

=

+

−

x

z

x

  va 

0

1

2

2

=

+

−

x

z

x

  tenglamalardan 

topiladi.  Bulardan 

2

4

2

1

1

z

i

z

x

−

±

=

  va 

2

4

2

2

2

z

i

z

x

−

±

=

.  z

1

  va  z

2

  larning 

qiymatlarini qo’yib,  

4

5

2

10

4

1

5

1

+

+

−

=

i

x

,        

4

5

2

10

4

1

5

2

+

−

−

=

i

x

, 

4

5

2

10

4

1

5

3

−

+

−

−

=

i

x

,       

4

5

2

10

4

1

5

4

−

−

−

−

=

i

x

 

larni hosil qilamiz. 

 

Bularni 

0

0

72

72

5

2

5

2

⋅

+

⋅

=

+

=

κ

κ

πκ

πκ

κ

isin

s

co

in

s

i

s

co

x

  formula  bilan 

taqqoslab 

4

1

5

72

cos

0

−

=

 ni hosil qilamiz.  

Bundan  r  radiusli  doiraga  ichki  chizilgan  muntazam  o’nburchakning 

tomoni a

10

 uchun formula keltirib chiqariladi:  

r

r

s

rco

in

s

r

in

s

r

a

⋅

−

=

=











 −

=

=

⋅

=

2

1

5

5

2

cos

2

10

2

2

10

2

2

10

2

2

10

π

π

π

π

π

.■ 

 

5-m i s o l. Birning 7 ko’rsatkichga tegishli bo’lgan 28-darajali ildizlarini 

yozing. 

Yechish. Ma’lumki, 1 ning 28-darajali ildizlari 

(

)

27

,....,

2

,

1

,

0

  

 

,

28

2

28

2

=

+

=

κ

πκ

πκ

ε

in

s

i

s

co

k

, 

lardan iborat. Bulardan 7 ko’rsatkichga tegishli bo’lganlari 

,

,

,

,

,

,

24

20

16

12

8

4

ε

ε

ε

ε

ε

ε

 

lardir yoki ularni quyidagicha yozish mumkin:  

6

,

5

,

4

,

3

,

2

,

1

,

0

 

бунда

   

,

 

7

2

7

2

=

+

κ

πκ

πκ

in

s

i

s

co

. ■ 

6-m i s o l. 

1

−

n

x

 ni haqiqiy koeffisiyentli ko’paytuvchilarga ajrating. 

Yechish. 

m

n

2

=

 bo’lsin, u holda 

0

1

=

−

n

x

 tenglama ikkita 1, -1 haqiqiy 

ildizlarga va 

2

2

−

m

 ta kompleks ildizlarga ega.  

Bunda 

m

in

s

i

m

s

co

2

2

2

2

πκ

πκ

ε

κ

+

=

 ildiz  

 

27

(

)

(

)

m

m

in

s

i

m

m

s

co

m

2

2

2

2

2

2

2

π

κ

π

κ

ε

κ

−

+

−

=

−

 

ildizga qo’shma. 

Shunday qilib,  

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

2

2

1

1

2

2

...

1

1

−

−

−

−

−

−

−











 −

−

=

−

m

m

m

x

x

x

x

x

x

x

x

ε

ε

ε

ε

ε

ε

; 

(

)

(

)

[

]

(

)

[

]

1

...

1

1

1

1

1

2

1

1

2

2

2

+

+

−

+

+

−

−

=

−

−

−

x

x

x

x

x

x

m

m

m

ε

ε

ε

ε

; 

(

)













+

−

−

=

−

Π

−

=

1

2

1

1

2

1

1

2

2

m

s

xco

x

x

x

m

m

κπ

κ

. 

ni hosil qilamiz. 

Agar n = 2m+1 bo’lsa, shunga o’xshash yo’l bilan  

(

)













+

+

−

−

=

−

Π

=

+

1

1

2

2

2

1

1

2

1

1

2

m

s

xco

x

x

x

m

m

κπ

κ

 

ni hosil qilamiz. ■ 

7-m i s o l. Tenglikni isbotlang:  

(

)

1

2

2

1

...

2

2

2

−

=

−

⋅

m

m

m

m

in

s

m

in

s

m

in

s

π

π

π

. 

Yechish. 6-misolning natijasiga ko’ra:  

 













+

−

=

−

−

Π

−

=

1

cos

2

1

1

2

1

1

2

2

m

x

x

x

x

m

m

κπ

κ

 

ni hosil qilamiz. 

x  =  1  ni  qo’yib, 











 −

=

Π

−

=

−

m

s

co

m

m

m

κπ

κ

1

2

1

1

1

  yoki 

(

)

m

in

s

m

m

m

2

2

2

1

1

1

2

κπ

κ

Π

−

=

−

=

  va 

nihoyat 

m

in

s

m

m

m

2

2

1

1

1

κπ

κ

Π

−