Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti sonlar nazariyasi asoslaridan

Bundan

har bir qo’shiluvchi 100 ga bo’linadi. 
10-m i s o l. Har bir butun n uchun n⁵ – n son 5 ga bo’linishi isbotlang.
Yechish. n⁵ – n = n(n²-1)(n²+1). Butun sonni 5 ga bo’lganda qoldiqlar 0, 1, 2, 3, 4 bo’ladi va bundan butun son 5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4, ko’rinishdan biriga teng bo’lishi kelib chiqadi.
Agar n = 5k bo’lsa, n son 5 ga bo’linadi; agar n = 5k + 2 yoki
n = 5k + 3 bo’lsa, (n² + 1) son 5 ga bo’linadi; agar n = 5k + 1 yoki
n = 5k + 4 bo’lsa, (n²-1) 5 ga bo’linadi. 
11-m i s o l. Raqamlar yig’indisi bir xil bo’lgan ikki son ayirmasi 9 ga bo’linishini isbotlang.

Yechish. va bo’lsin.

va dan shartga ko’ra,
, demak, 
12-m i s o l. Ketma-ket kelgan to’rtta raqam birin-ketin yozilgan bo’lib, dastlabki ikkita raqam o’rni almashtirilgandan so’ng to’la kvadrat bo’lgan to’rt xonali son hosil qilingan. Shu sonni toping.
Yechish. Masala shartiga ko’ra,
N ² = 1000(x + 1) + 100x + 10(x + 2) + (x + 3) = 11(101 x+ 93).
Bundan N = 11k va N to’la kvadrat bo’lganligidan 11k² = 101x + 93, ya’ni Bu yerdan x = 3 kelib chiqadi. Demak, N = 11(1013 + 93) = 4356 = 66². 

M A S H Q L A R

1. Agar bo’linuvchi va bo’linma berilgan bo’lsa, bo’luvchi va qoldiqni toping: a) 25 va 3; b) – 30 va – 4.
2*. Isbotlang:
a) toq natural sonning kvadratini 8 ga bo’lganda 1 qoldiq qoladi;
b) ketma-ket ikki natural son kvadratlari yig’indisini 4 ga bo’lganda 1 qoldiq qoladi.