Algebraik aniqlik darajasi eng yuqori bo’lgan formulalar

4. Gauss tipidagi kvadratur formulalarning yakinlashishi.

Yuqorida, (x)>0 bo`lsa, barcha n- 1,2,... uchun Gauss tipidagi

(x)f(x)dx = + R_n(f)

k vadratur formulaning mavjud bo`lishini ko`rib o`tdik. Agar

tenglik bajarilsa, u holda f(x) funksiya uchun kvadratur formula yaqinlashadi deyiladi.

4-teorema. Agar [a, b] oraliq chekli va f(x) funksiya bu oraliqda uzluksiz bo`lsa, u holda Gauss tipidagi kvadratur formula yaqinlashadi.

Isbot. da

R_n(f) =

ekanligini isbotlash kerak. [a, b] oraliq chekli va bu oraliqda f(x) uzluksiz bo`lganligidan Veyershtrass teoremasiga ko`ra berilgan har bir >0 son uchun shunday P(x) ko`phad mavjudki, ixtiyoriy x [a, b] uchun

(3.8)

t engsizlik o`rinli bo`ladi. R_n(f) ni quyidagi ko`rinishda yozib olamiz

(3.9)
Kvadrat qavslardagi ifoda P(x) ko`phad uchun kvadratur formulaning R<sub>n</sub>(f) qoldig`idan iboratdir. Agar bu kop`hadning darajasini N orqali belgilasak, u holda 2n - 1 > N bo`l ganda R_n(P) = O bo`ladi. Endi (3.9) dagi holgan ifodalar (3.8)

t engsizlikka ko`ra quyidagicha baholanadi:

D emak, 2n - 1>N bo`lganda

bo`ladi. Shu bilan teorema isbotlandi.

Umumiy ko`rinishdagi (Gauss tipidagina emas) kvadratur formulalar ketma-ketligini

qaraymiz. Bu yerda [a, b] oraliq chekli va bu oraliqda (х) vazn integrallanuvchi ixtiyoriy funksiya bo`lsin. Bu kvadratur formula uchun quyidagi teorema o`rinlidir.