Algebraik amalga nisbatan neytral, yutuvchi va simmetrik elementlar Rеjа

2-ta’rif. Agar G gruppadagi  algebraik amal kommutativ bo’lsa, uni kommutativ gruppa deb ataladi.

Yuqoridagi misolda qo’shish amali kommutativ, chunki a+b=b+a (a,bZ). Demak, Z to’plam qo’shish amaliga nisbatan kommutativ gruppa ham ekan.

Komutativ gruppalarada  amal + belgisi orqali yoziladi va uni qo’shish amali deyiladi, neytral element 0 bilan belgilanadi va uni nol deb ataladi, a ga simmetrik element esa - a orqali belgilanadi va uni qarama-qarshi element deb ataladi. Yana bundan tashqari, kommutativ gruppalarada  amal ∙ belgisi orqali yoziladi va uni ko’paytirish amali deyiladi. Bunda neytral element 1 bilan belgilanadi va uni bir deb ataladi, a ga simmetrik element orqali belgilanib, uni a ga teskari element deb ataladi.

2-misol. Musbat haqiqiy sonlar to’plami R₊ ko’paytirish amaliga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qiladi. Chunki, a, b cR+ uchun, a^.b=b^.a, a(bc)=(ab)c tengliklar bajariladi. Bunda, ikki musbat haqiqiy sonlarning ko’paytmasi musbat haqiqiy son bo’ladi, neytral elementi rolini 1, simmetrik element rolini bajaradi.

3-Misol. Uch o’lchamli R³ fazoda vektorlar to’plami qo’shish amaliga nisbatan gruppa tashkil qiladi. Haqiqatdan, a=(a₁, a₂, a₃) b=(b₁, b₂, b₃) vektorlar yig’indisi a+b=(a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) bo’lib, a+b=b+a ekani ko’rinib turibdi. Bu qo’shish amalining kommutativligini bildiradi. a, b, cR₃ vektorlar uchun qo’shish amali assosiativlik xossasiga ega, ya’ni: (a+b)+c=a+(b+c). Haqiqiqatdan, (a+b)+c=(a₁+b₁, a₂+b₂,a₃+b₃)+(c₁,c₂,c₃)=((a₁+b₁)+c₁, (a₂+b₂)+c₂, (a₃+b₃)+c₃)= (a₁+(b₁+c₁), a₂+(b₂+c₂), a₃+(b₃+c₃))=(a₁, a₂, a₃)+(b₁+c₁, b₂ + c₂, b₃+c₃) =a+(b+c).

R³ da qo’shish amaliga nisbatan neytral element  bo’lib, u nol vektor deyiladi: =(0,0,0). a vektorga simmetrik vektor - a bo’lib, u qarama-qarshi vektor deyiladi:

-a=(-a₁, -a₂, -a₃).