Algebraik amalga nisbatan neytral, yutuvchi va simmetrik elementlar Rеjа

4-Misol. aZ, bZ ko’rinishdagi sonlar to’plami qo’shish amaliga nisbatan gruppa tashkil etadi.

Haqiqatdan, bu to’plamda ikki a₁ b₁ va a₂ b₂ sonlarning yig’indisi qo’yidagicha aniqlanadi:

.

a₁+a₂Z, b₁+b₂Z, bo’lgani uchun, bu yig’indi Z( ) to’plamga tegishli bo’ladi.

5-misol. Natural sonlar to’plami N ko’paytirish amaliga nisbatan gruppa tashkil etmaydi. Chunki, bu amalga nisbatan kommutativlik va assosiativlik xususiyatlari o’rinli va natural element 1 mavjud bo’lgani bilan a>1 sonlar uchun simmetrik element mavjud emas. Chunki .

6-misol. m catrli n ustunli matritsalarning M to’plami matritsalarni qo’shish amaliga nisbatan gruppa tashkil etadi. m satrli va n ustunli matritsa deb qo’yidagi jadvalga aytiladi:

.

Bunda m=n bo’lishi mumkin. U holda kvadrat matritsa hosil buladi. Ikkinchi bir B matritsa ham berilgan bo’lsin.

.

A va B matritsalarning yig’indisi A+B deb quyidagi C matritsaga aytiladi:

.

Matritsalarni qo’shish amali quyidagi xossalarga ega.

1 A+B=B+A (Kommutativlik xossasi)

2 A+(B+C)=(A+B)+C (Assositivlik xossasi)

3 Har qanday m satrli n ustunli A va B matritsalar uchun shunday X m satrli va n ustunli matritsa mavjudki, uning uchun A+X=B tenglik o’rinli (teskari amalning mavjudligi) bu xossalarni osongina isbotlash mumkin. A matritsaga qarama-qarshi matritsa deb, -A matritsaga aytiladi:

.