Algebra va sonlar nazariyasi

(x, y) = B( x, y) formula orqali V fazoda skalyar ko‘paytma aniqlaymiz.

7. 
   teoremagaga ko‘ra, V da shunday e, e,-., e ortonormal bazis mavjudki, bu bazisda A(x, x) kvadratik forma kanonik ko‘rinishga keladi, ya’ni
   

n
A( x, x) = ХЛ#-.
1=1
Ortonormal bazisda skalyar ko‘paytma
n
(x, x) = B( x, x) = Z^²
1=1
ko‘rinishga ega bo‘lganligi uchun e , e , ... , e bazisda ikkala kvadratik forma ham kanonik ko‘rinishda yoziladi.

7. 
   ta’rif. Agar n o‘lchamli haqiqiy Yevklid fazosidagi A chiziqli almashtirish vektorlarning skalyar ko‘paytmasini saqlasa, ya’ni ixtiyoriy x, y eV uchun
   

bo‘lsa, A chiziqli almashtirish ortogonal almashtirish deyiladi. Agar yuqoridagi tenglikda x = y deb olsak


hosil bo‘ladi, ya’ni ortogonal almashtirish vektorlar uzunligini saqlaydi.
Bundan tashqari, vektorlar orasidagi burchak


kabi aniqlangani va bu ifodaning surati ham, maxraji ham ortogonal almashtirish natijasida o‘zgarmaganligi uchun, ortogonal almashtirish vektorlar orasidagi burchakni ham saqlaydi.
Bundan esa, A ortogonal almashtirish ortonormal bazisni ortonormal bazisga o‘tkazishi kelib chiqadi, ya’ni ortogonal almashtirish vektorlar orasidagi burchakni hamda ularning uzunliklarini saqlaganligi uchun e, e₂, . ., e ortonormal bazis Ae, Ae,. ., Ae_n ortonormal bazisga o‘tadi. Demak,


Aytaylik, A chiziqli almashtirishning biror e, e₂,..., e ortonor­mal bazisdagi matritsasi A = (a_k) bo‘lsin. Bu matritsaning ustunlari Ae vektorlar koordinatalaridan iborat bo‘lganligi uchun (32.5) shart quyidagicha yoziladi:


(Ax, Ay) = (x, y)

1. 
   Ax | ² =|x | ²
   

cos^ =


(x, y)


^IxI M





(32.5)





(32.6)


227

Agar (32.6) shartni matritsa shaklida yozadigan bo‘lsak,

n


Za_sia_Sk yig‘indi matritsa bilan uni transponirlash natijasida hosil
s=1
bo‘lgan matritsa ko‘paytmasining elementlarini beradi. Demak, (32.6) shartdan ortogonal almashtirish matritsasi bilan uni transponirlashdan hosil bo‘lgan matritsaning ko‘paytmasi birlik matritsaga teng ekanligi kelib chiqadi, ya’ni
A • A^T = E.
Matritsalar ko‘paytmasining determinanti ularning determinantlari ko‘paytmasiga teng bo‘lgani uchun, ortogonal almashtirish matritsasi determinantining kvadrati 1 ga teng bo‘lishiga, ya’ni ortogonal almashtirish matritsasining determinanti ±1 ekanligiga ega bo‘lamiz.
Determinanti 1 ga teng bo‘lgan ortogonal almashtirishlar xos ortogonal almashtirishlar, -1 ga teng bo‘lgan almashtirishlar esa xosmas ortogonal almashtirishlar deyiladi.
Endi ortogonal almashtirishni bir va ikki o‘lchamli fazolarda tekshiraylik.
Aytaylik, e vektor bir o‘lchamli fazoni vujudga keltiruvchi vektor, A esa bu fazoda berilgan ortogonal almashtirish bo‘lsin. U holda Ae = Xe va A almashtirishning ortogonal ekanligidan (Ae, Ae) = (e, e) kelib chiqadi, demak,
Л²(е, e) = (e, e), ya’ni A = ±1.
Bundan esa bir o‘lchamli fazoda faqat ikkitagina Ax = x va Ax = -x ortogonal almashtirish mavjud ekanligi kelib chiqadi.
Ikki o‘lchamli V fazodagi ortogonal almashtirishlarni o‘rganishga o‘tamiz. Aytaylik, ikki o‘lchamli V fazoda e, e₂ bazis va bu bazisdagi matritsasi
' ^a1,1 ^a1,2 " у ^a2,1 ^a2,2 у
bo‘lgan A almashtirish berilgan bo‘lsin.

Dastlab, xos ortogonal almashtirishni ko‘rib chiqamiz, ya’ni a a 2 - a₁₂a₂i = 1 deb faraz qilamiz. Almashtirishning ortogonallik shartidan,

V¹ (,


\


tenglikka ega bo‘lamiz. Matritsaning determinanti 1 ga teng bo‘lganligi uchun,


^a22
—a


-a
^a1,2


2,1


ya’ni, a_n = a₂, a₁₂ =— a_2l ekanligi, bundan esa a²_x + a^₂ = 1 kelib chiqadi. Demak, ikki o‘lchamli fazodagi xos ortogonal almashtirishning matritsasi quyidagi ko‘rinishda bo‘lar ekan:


V^-a1,2


- ^a12 ¹.


bu yerda a₁₁
Agar = cosp a 2 = ^siⁿ^ deb belgilasak, ikki o‘lchamli
fazodagi xos ortogonal almashtirishning ortonormal bazisdagi matritsasi quyidagi ko‘rinishga keladi


(


\


cosp — sinp
_vsinp cosp _;


Endi A almashtirish xosmas, ya’ni a A 2 — AAi = —1 bo‘lgan


\


V ^a2,1


matritsaning xarakteristik


holni qaraymiz. Bu holda
tenglamasi
Л² — (a_n + a ₂M— 1 = 0
ko‘rinishda bo‘ladi. Ushbu tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo‘lganligi uchun, A almashtirishning e xos vektori mavjud, ya’ni Ae = \e.
Aytaylik, e₂ vektor e vektorga ortogonal bo‘lsin. Ortogonal almashtirish vektorlar orasidagi burchakni saqlashidan, (Ae₂, Ae) = 0 ekanligini hosil qilamiz.


229


a


a


1,1


1,2


1,1


2,1


a


a


a


a


2,1


2,2


1,2


2,2


V


/


V


/


a


a


1,1


2,1


a


a


a


1,1


1,2


2,2


У


V


У

0 = (Ae₂, Ae ) = (Ae₂, ±e_x) = ±( Ae₂, e )

tenglikdan (Ae₂, e ) = 0 kelib chiqadi, Ae₂ = \ e₂.