Algebra va sonlar nazariyasi

Isbot. Berilgan chiziqli almashtirishning qo‘shmasi bo‘lgan A* almashtirishni qaraylik. Xar qanday almashtirishning xos vektori bo‘lgani kabi, A* ham e xos vektorga ega, ya’ni

A*e = Ке.

Ushbu e vektorga ortogonal vektorlardan tuzilgan n — 1 o‘lchamli V' qism fazo A almashtirishga nisbatan invariant ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy x e V' uchun (x,e) = 0 ekanligidan
(Ax, e) = (x, A*e) = (x, Ке) = К (x, e) = 0 kelib chiqadi. Demak, Ax e V' , ya’ni V' qism fazo A almashtirishga nisbatan invariant. □
Endi biz ixtiyoriy chiziqli almashtirishni Jordan normal shaklga keltirish mumkinligi haqidagi 33.1- teoremaning isbotiga o‘tamiz.

1. 
   teoremaning isboti. Biz teorema isbotini chiziqli fazoning o‘lchamiga nisbatan induksiya usulini bo‘yicha olib boramiz. Chiziqli fazo bir o‘lchamli bo‘lganda teorema sharti o‘rinli bo‘lishi ravshan.
   

Chiziqli almashtirish uchun n o‘lchamli fazoda bunday bazis mavjud deb faraz qilib, n + 1 o‘lchamli fazoda kerakli bazisni topish mumkin ekanligini isbot qilamiz.
A almashtirish n + 1 o‘lchamli V fazoda ixtiyoriy chiziqli almashtirish bo‘lsin. 33.2-lemmaga asosan, V fazoda A almashtirishga nisbatan invariant bo‘lgan n o‘lchamli V' qism fazo mavjud. Induksiya faraziga ko‘ra, n o‘lchamli fazoda teorema o‘rinli bo‘lgani uchun, V' fazoda chiziqli almashtirishni normal shaklga keltiradigan bazis mavjud. Bu bazisni
e^{, e}2^,...^{, e}p;^f, Л— ^f_q; ;^h, V- ^hs
kabi belgilaylik, bu yerda p + q +... + s = n. Ushbu bazisda chiziqli almashtirish quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi
Ae = Ка , Ae₂ = e +Ке,
9
Ae =e , +Ке ,
p p^—1 “ p>
Af ^,
^Af2 = ^f +4^


^Afq = ^f q—1 + ^K2^/q ,
237

^AK =^X к

Ah₂ = h + X h,
,
Ah = h , + X h .
5 5-1 k 5
Bu bazisni e, e₂,..., e_p; /, /2,. ., /; ; h, h₂,..., h vektorlar
bilan birgalikda V fazoda bazis tashkil qiladigan biror e vektor bilan to‘ldiraylik. Ushbu e vektorga A almashtirishni ta’sir qildirib, Ae vektorni bazis vektorlar bo‘yicha yoyib yozamiz:
Ae = cc_xe_x +... + c^ e ^ + fl / +... + J3^ /^ +... + +... + ^ h_s + Te. Umimiylikka ziyon yetkazmagan holda, T = 0 deb olish mumkin. Haqiqatdan ham, agar biror bazisda A chiziqli almashtirish normal shaklda bo‘lsa, u holda A -tE almashtirish ham bu bazisda normal shaklda bo‘ladi. Shuning uchun, t Ф- 0 holda A almashtirish o‘rniga A -tE almashtirishni qarash mumkin. Demak,
^Ae =^C1^e1 + ... + ^Cp^ep + fl1.f1 + ... + ^flq^fq + ... + ЗД + ... + ^5^h5. ⁽³³⁴⁾
Endi e vektorni e' vektor bilan Ae' vektor mumkin qadar sodda ko‘rinishda bo‘ladigan qilib almashtiramiz. Buning uchun e' vektorni ushbu ko‘rinishda izlaymiz:
^e' = ^e-h^e1 ^- - ^- Xp^ep ^- M1.f1 ^- - ^{- M}q^fq ^- -^-®1^h1 ^- ..^-®A. ⁽³³⁵⁾
Bundan
^Ae' = ^{Ae - A(}^1^e1 + ... + ^p^ep ^{) - A(m/} + ... + M q^fq ^{) -} ... ^{- A(a}A + ... + ®A ⁾ =
(33.6)
= ^c1^e1 + ... + ^cp^ep + ^fl/ + ... + ^flq^fq + ... + £Д + ... + ^Л <sup>-
- A(</sup>^1^e1 +...+Xp^ep^{) -}...^{- A(}®A +...+®A⁾
tenglikni hosil qilamiz.

Endi X, X₂, . ., X_p, M , M₂,.., M_q, . ., Q , ®₂,..., Q koeffitsient-

larni tenglikning o‘ng tomoni mumkin qadar kam qo‘shiluvchilar qoladigan qilib tanlashga harakat qilamiz.
Buning uchun К, К, . ., К xos qiymatlarning hech biri nolga teng bo‘lmagan va xos qiymatlarning ba’zilari nolga teng bo‘lgan hollarni alohida ko‘rib chiqamiz.
Aytaylik, xos qiymatlarning hech biri nolga teng bo‘lmasin, ya’ni К ф 0, К ф 0,..., К ф 0. Bu holda е' vektorni Ae' = 0 bo‘ladigan qilib tanlab olish mumkin. Haqiqatan ham, A almashtirish V' fazodagi xar bir vektorlar jamlanmasidan tuzilgan qism fazoni shu qism fazoga o‘tkazganligi uchun, X, X,-., X koeffitsientlarni
tanlash kifoya. Bu vektorlarni o‘z ichiga olgan hadlarni alohida yozib olaylik.
A ^e1 +... + «p^ep ^{— A(}X ^e1 +... + Xp^ep⁾ =
«1^e1 + ... + «p^ep ^—X ^Ке1 ^—X2^(e1 +^К1^е2^{) —} ... ^— Xp ^(е_р-1+^Ке_Р ⁾ =
(«1 ^—X ^{К —} X2>1 + ^(a2 ^—Z2^{K —} Xs>2 + ... +
+^(ap-1 ^— Xp—1^{К —} Xp ^)ep—1 + ⁽«p ^— Xp^! ^)ep.
Agar Xp = «p^, Xp—1 = ^p—1 X^{p ,}...^, x = « + ^X deb olsak, ^{К К К} tenglikning o‘ng tomoni nolga aylanadi. Bu holda (33.6) tenglikning o‘ng tomonida e, e₂, -., e_p bazis vektorlar ishtirok etmaydi.
Qolgan xos vektorlar ham noldan farqli bo‘lganligi uchun, xuddi shunga o‘xshab, (33.6) tenglikning o‘ng tomonidagi barcha hadlarini qisqarib ketadigan m, M,-., M,.", Q, ^,.", Q koeffitsientlarni tanlash mumkin. Natijada biz