Algebra va sonlar nazariyasi

b
k = bt = — t ¹ d
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
ab
Buni M ga olib borib qo‘ysak, M = — t hosil qilamiz. Demak,
d
a va b sonlarning ixtiyoriy umumiy karralisi yuqoridagi formula orqali ifodalanadi. Agar t = 1 bo‘lsa, a va b sonlarning EKUKini
ab
topish formulasi hosil bo‘ladi, ya’ni [a, b] = —. □
d
12 18
Misol 34.4. (12,18) = 6 bo‘lib, [12,18] = —— = 36 bo‘ladi.
6
Ikkitadan ortiq sonlarning EKUKini topish masalasi ikkita sonning EKUKini topish kabi hal qilinadi.
Agar bizga a,a,...,a sonlar berilgan bo‘lib, [a,a₂] = m, [m₂,a] = m, ..., [m_n__x,a] = m bo‘lsa, u holda topilgan m soni berilgan sonlarning EKUKi bo‘ladi, ya’ni
[a1, a2,..., an ] = [m2, a3,..., an ] = [m3, a^,..., a_n ] = ... = [m^, an ] =
Agar berilgan sonlar ketma-ketligi juft-jufti bilan o‘zaro tub bo‘lsa, u holda
[a₁,a₂,...,a_nn = a₁ - a₂ -... - a_n
bo‘ladi.
35 - §. Uzluksiz va munosib kasrlar
Bizga a va b butun sonlar berilgan bo‘lsin. Bu sonlar uchun Yevklid algoritmini qo‘llasak, quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:


b r 1
- = q 2 +— = q 2 +— ^r1 ^r1 ZL


^r2


249

1

q з+— = q з+—^{, r}2 ^r2 П,


4n—1' 4n —1


Ll
^rn-1


a
Natijada — nisbatni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
b
a 1
q


b , 1 ^q2 +


1
^q3 +
4 a +


1
+ T
^qn—1 +


q_n
a
Berilgan — nisbatning yuqoridagi ko‘rinishiga uning uzluksiz b
kasrga yoyilmasi deyiladi. Odatda uzluksiz kasr quyidagicha belgilanadi:

• 
  = ⁽^ q^..^ q_n⁾. b
  

Uzluksiz kasrda quyidagi uch hil holat bo‘lishi mumkin:

1. 
   a > b, bu holda q >0 bo‘ladi;
   
2. 
   0 < a < b, bu holda q =0 bo‘ladi;
   

_a

3. 
   a <0 bo‘lsa, — nisbatni
   

b
^a = —m +—, m >0 b b r
shaklda yozib olamiz. Bu yerda — to‘g‘ri musbat kasr bo‘lib, natijada
b
quyidagi yoyilma hosil bo‘ladi:


^r3

ah, \

• 
  = -m + -1 = ⁽—^m, q^ qз^,...^, q_n⁾. b b
  

Misol 35.1.


2576


154
2576


kasrni uzluksiz kasrga yoying.
1


154


= 16 +


1 + -


1


= (16,1,2,1,2).


2 + -


1


1 + -


Berilgan — ratsional sonning munosib kasrlari deb, b


§1 ^q1, §2 ^q1 + _ , §₃ ^q₁ +"


... A = q1 +■


^q2 + ~


"з


^q2 +'


^q3 +


1
+
q_n
kasrlarga aytiladi. Bu munosib kasrlarning eng oxirgisi berilgan ratsional kasrga teng bo‘ladi.
Munosib kasrlarni hisoblash uchun P₀ =1, Q = 0, p = q, Q =1 deb quyidagilarni yozib olamiz:


q₂


§3 = >


§=^,
¹ 1 01
§ = q _|_ ^ ₌ ^q2 ^{- q}1 + ¹ _ ^q2 ^{- p} + ^p0 _ ^P2
^q2 ^q2 ^q2 ^{- Q}1 + ^Q0 ^Q2
"з


\


^q2


^q3


^Q1 + ^Q0


_ ^q3^(q2^P1 + ^P0⁾ + ^P1 _ ^q3^P2 + ^P1 _ ^P3 ^q3 (^q2^Q1 + ^Q0 ) + ^Q1 ^q3^Q2 + ^Q1 ^Q3


1


2


1


1


1





251

		q1	q2	q3	q4		qn
Pk	1	q1	^q2 • ^P + P0	^q3 • ^P2 + ^P	^q4 • ^P3 + ^P2		^qn • ^Pn—1 + ^Pn—2
Qk	0	1	^q2 • ^Q1 + ^Q0	^q3 • ^Q2 + ^Q1	^q4 • ^Q3 + ^Q2		q • Q , + Q , In S-^n— 1 S-^n— 2
k	0	1	2	3	4		n

Ushbu p va Qk sonlar orasida quyidagi bog‘liqlik mavjud: PkQk—1 — QkPk—1 =(—1)^k • Bu formuladan (p, Q) = 1 ekanligi osongina kelib chiqadi. Misol 35.2. (16,1,2,1,2) ga mos ratsional son topilsin.		q1 =^16	q2 =^1	q3 = ^2	q4 =^1	q5 = ^2
Pk	P = 1	16	17	50	67	184
Qk	0 ii d	1	1	3	4	11

Demak, berilgan uzluksiz kasr uchun


g= —= 16; g₂= —= 17; g₃=—; £₄=—; J₅= — ¹ 1 ² 1 ³ 3 ⁴ 4 ⁵ 11