Algebra va sonlar nazariyasi

^A(c1^e1 + ^c2^e2 + ... + ^cp^ep ⁾ = ^K(c1^e1 + ^c2^e2 + ... + ^Cp^ep ).
Bu tenglikning chap tomoniga (33.2) formuladagi ifodalarni qo‘ysak,
^c1^Ke1 + ^c2 ^(e1 + \^e2 ⁾ + ... + ^cp ^(ep—1 + \^ep ⁾ = ^c1^Ke1 + ^c2^Ke2 + ... + ^cp^Kep tenglik hosil bo‘ladi. Bundan bazis vektorlarning mos koeffitsientlarini tenglashtirib,
c К + c = Kc_x, c К + c = Kc₂,


c К + c = Kc
p^—1 “ p
c K= Kc
p Л p


p—1’


p ¹ p
tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz.
Dastlab, К = К ekanligini ko‘rsatamiz. Chindan ham, agar К ф К bo‘lsa, ^ = 0, undan yuqoridagi tenglikdan esa c j = 0 va hokazo, qolgan tengliklardan c_p—2 =... = c₂ = c₁ = 0 ekanligi kelib chiqadi. Bu esa ce + c₂e₂ +... + c e xos vektorning noldan farqli ekanligiga zid. Demak, X = \.
Endi К = К ekanligidan foydalanib, sistemaning birinchi tenglamasidan c₂ = 0, ikkinchidan c = 0 va shu tarzda davom etib oxirgi tenglamasidan c = 0 ekanligini hosil qilamiz. Bundan esa xos vektor ce ga teng ekanligi kelib chiqadi. Demak, e, e₂,. ., ^
vektorlardan qurilgan qism fazo ko‘paytuvchining aniqligida yagona xos vektorga ega. Xuddi shunday qolgan qism fazolar ham ko‘paytuvchining aniqligida yagona xos vektorga ega ekanligi ko‘rsatiladi.

X	1	0 .	.. 0	0 "
0	X	1 .	.. 0	0
0	0	X .	.. 0	0
0	0	0.	. X	1
0	0	0.	.. 0	Xy

ko‘rinishida bo‘lishini topamiz. Ushbu ko‘rinishidagi matritsalarga
Jordan kataklari deb ataladi.


235

X	1	0 ..	.0	0	0	0.	.. 0 .	.. 0	0	0.	.. 0
0	X	1 ..	.0	0	0	0.	.. 0 .	.. 0	0	0.	.. 0
0	0	X ..	.0	0	0	0.	.. 0 .	.. 0	0	0.	.. 0
0	0	0.	.. X!	0	0	0.	.. 0 .	.. 0	0	0.	.. 0
0	0	0.	.0	X*	1	0.	.. 0 .	.. 0	0	0.	.. 0
0	0	0.	.0	0	^X2	1.	.. 0 .	.. 0	0	0.	.. 0
0	0	0.	.0	0	0	X2 .	.. 0 .	.. 0	0	0.	.. 0
0	0	0.	.0	0	0	0.	.. X2 .	.. 0	0	0.	.. 0
0	0	0.	.0	0	0	0.	.. 0 .	.. X	1	0.	.. 0
0	0	0.	.0	0	0	0.	.. 0 .	.. 0	^X	1.	.. 0
0	0	0.	.0	0	0	0.	.. 0 .	.. 0	0	X.	.. 0
0	0	0.	.0	0	0	0.	.. 0 .	.. 0	0	0.	.. X

Chiziqli almashtirish matritsasining ushbu ko‘rinishiga uning normal shakli yoki Jordan normal shakli deyiladi. Demak, matritsaning Jordan normal shaklida uning dioganali bo‘ylab bir nechta Jordan kataklari joylashib, qolgan elementlari nolga teng bo‘ladi.
Endi biz 33.1-teoremaning isbotida kerak bo‘ladigan quyidagi lemmani keltiramiz.

2. 
   lemma. n o‘lchamli V kompleks fazoda ixtiyoriy A chiziqli almashtirish uchun kamida bitta n -1 o‘lchamli invariant qism fazo mavjud.