Algebra va sonlar nazariyasi

Misol 22.4. a) Bizga V = M³ uch o‘lchamli haqiqiy vektor fazo berilgan bo‘lsin. Bu fazoda e₁ =(1,0,0), e₂ =(0,1,0), e₃ =(0,0,1) vektorlar bazis tashkil qiladi va ixtiyoriy x = (x, x₂, x) vektorning ushbu bazisdagi koordinatalari x, x₂, x₃ bo‘ladi.

2. 
   V = P_n(t) darajasi n dan oshmaydigan ko‘phadlardan iborat bo‘lgan fazo bo‘lsin. Bu fazoda e = 1, e = t, ., e„₊₁ = tⁿ vektorlar to‘plami bazis tashkil qiladi, ya’ni dimP_n(t) = n +1. Ushbu bazisda ixtiyoriy f(t) = a₀tⁿ + at^n-1 +... + a ko‘phad koordinatalari uning a, a, ., a koeffitsientlaridan iborat bo‘ladi.
   

Agar P (t) fazoda boshqa bazis e[ = 1, e'₂ = t - a,..., e'_n+x= (t - a)ⁿ tanlasak, u holda f (t) ko‘phadning bu bazisdagi koordinatalarini topish uchun uni Teylor qatoriga yoyiladi:
f⁽ⁿ⁾(_a)
f (t) = f (a) + f 2(a)(t - a) +... + ^f-^ (t - a)ⁿ.
n!
Demak, ft) ko‘phadning
^eT =^{1 e}2 = t^{- a,}'''^{, e}'_n+i = ⁽t^-a)ⁿ f ⁽ⁿ⁾(_a)
bazisdagi koordinatalari f (a), f (a),..., ko‘rinishida bo‘ladi.
n!


143

Endi chiziqli fazolar izomorfizmi tushunchasini kiritamiz.

8. 
   ta’rif. Bizga V va V' chiziqli fazolar berilgan bo‘lsin. Agar x eV va x ' eV' vektorlar orasida shunday o‘zaro bir qiymatli x o x ' moslik o‘rnatish mumkin bo‘lib, x va x ', hamda y va y' vektorning mosligidan
   

1. 
   x + y vektor x' + y' vektorga mosligi;
   
2. 
   kx vektor Ax' vektorga mosligi
   

kelib chiqsa, u holda V va V' chiziqli fazolar izomorf fazolar deyiladi.

9. 
   teorema. Bir hil o‘lchamga ega bo‘lgan barcha chiziqli fazolar bir-birlariga izomorfdir.
   

Isbot. Aytaylik, V va V' chiziqli fazolar n o‘lchamli fazolar bo‘lsin. V va V' fazolar mos ravishda e, e, . ., e va e[, e'₂,..., e' bazislarni tanlab olamiz. V fazodan olingan ixtiyoriy x = £e, + £.e +... + £ e

2. 
   ~2 2 ^n n
   

vektorga V' fazodagi x ' = ^e[ + ^₂ e' +... + %_n e'_n vektorni mos qo‘yamiz.
Bu moslik o‘zaro bir qiymatli bo‘ladi. Haqiqatan ham, har bir x vektor x = ^e +^2 + .. + %_ne_n ko‘rinishida yagona ravishda tasvirlangani uchun x ' vektor ham bir qiymatli aniqlanadi. V va V' fazolarning teng o‘lchamli ekanligini e’tiborga olsak, xar bir x ' e V’ vektorga V ning faqat bittagina elementi to‘g‘ri keladi. Demak, bu moslik bir qiymatli moslik ekan.
Agar x o x' va y o y' bo‘lib, x = ^e_x +4₂e₂ +... + 4„e_n va y = ^e +^e₂ +... + ^„ e bo‘lsa, u holda

10. 
    + y = ⁽ + ^)^e1 + ⁽2 +ъ)^e2 + ... + ⁽n + 4n ^)en ekanligidan x + y o x ' + y' moslik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
    

Xuddi shunday Ax o Ax' moslik ham osongina kelib chiqadi.
Endi vektor fazoning bazisi o‘zgarganda vektorning koordinatalarini qanday o‘zgarishi keltiramiz.

Aytaylik, n o‘ lchamli V vektor fazoda e , e , ... , e va e2, e2,..., e2 bazislar berilgan bo‘lib, x vektorning birinchi bazisdagi koordinatalari £, £,..., £ ikkinchi bazisdagi koordinatalari £2, £2, •••, £2 bo‘lsin. U holda

^x = ^£ei + ^£2^e2 +... + ^£n^en = ^£e1 + ^£2 ^e2 +... + ^£n^e'n.
Xar bir e' vektor e, e, ., e vektorlar orqali quyidagicha ifodalansin:
4' = ^ai,i^ei + ^a2,i^e2 + ... + ^ani^en^{, e}2 = ^ai,2^ei + ^a2,2^e2 + ". + ^an,2^en,


en = a e + a₀„e₀ +... + a e
n 1,n 1 2,n 2 n,n n


U holda birinchi bazisdan ikkinchi bazisga o‘tish matritsasi A = (a j) orqali ifodalanadi. Ma’lumki, ushbu matritsaning determinanti noldan farqli.
Yuqoridagi tenglikdan
^x = ^£i^ei + ^£2^e2 + ". + ^£n^en = ^£T ^(ai,i^ei + ^a2,i^e2 + ". + ^ani^en ⁾ +
+^£2 ^(ai,2^ei + ^a2,2^e2 + ". + ^an,2^en ⁾ +
+ +
+^£T ^(ai,n^ei + ^a2,n^e2 + ... + ^an,n^en ⁾
hosil bo‘ladi. e, e, ., e vektorlarning chiziqli erkli ekanligidan, bu tenglikning o‘ng va chap tomonidagi bazis vektorlar oldidagi koeffitsientlar teng bo‘ladi, ya’ni
^£ = ^a_u^£1 + ^a\,2^£2 + ". + ^ai,n^£n ^{, £}2 = ^a2,1^£1 + ^a2,2^£2 + ". + ^a2,n^£n,