Algebra va sonlar nazariyasi

1
(f (x), S (x)) = j f (x) S ( x)dx

1. 
   - 4) aksiomalarini qanoatlantiradi, ya’ni skalyar ko‘paytma bo‘ladi.
   

Kiritilgan skalyar ko‘paytma tushunchasi yordamida biz
vektorning uzunligini va vektorlar orasidagi burchakni aniqlashimiz
mumkin.

2. 
   ta’rif. Yevklid fazosidagi x vektorning uzunligi deb
   

V( x, x)
songa aytiladi va | x | kabi belgilanadi.

3. 
   ta’rif. x va у vektorlar orasidagi burchak deb
   

(x,У) ^-i a- ’ •
p = arccos songa aytiladi, ya ni
^{1 x 11} У¹
(x, y)
cos p =


^{1 x 11}У¹
ж
^{Agar x va y vektorlar orasidagi burchak} 7 ^{ga teng bo}‘^lsa’
ya’ni (x,y) = 0 bo‘lsa, x va у vektorlar ortogonal vektorlar deyiladi. Yuqoridagi ta’rifda x va у vektorlar orasidagi p burchakni
cosp= ^(X,У) formula yordamida aniqladik. Aslida tenglikning o‘ng
^{1 x 11} У¹


0


153

tomonida turgan ifodaning moduli 1 dan katta emasligini ko‘rsatishimiz kerak, ya’ni ^(x,^y) < l yoki

^{| x | |} y^|
(x,y⁾² < ^{(x, x)(}y^,y⁾ (24.1)
ekanligini ko‘rsatamiz.
Buning uchun x - ty vektorni qaraymiz, by yerda t ixtiyoriy haqiqiy son. Skalyar ko‘paytmaning 4)-aksiomasiga asosan: (x - ty, x - ty) > 0, ya’ni har qanday t uchun:
t² (y, y) - 2t( x, y) + (x, x) > 0.
Bu tengsizlikning chap tomonidagi t ga nisbatan kvadrat uchhad faqat manfiy bo‘lmagan qiymatlarni qabul qilishi uchun bu uchhadning diskriminanti musbat bo‘lmasligi kerak. Chunki t² oldidagi (y, y) ifoda xar doim musbat son. Demak,
D = 4(x, y)² - 4(x, x)(y, y) < 0.
Bundan esa, (x, y)² < (x, x)(y,y) ekanligi kelib chiqadi. Yuqorida keltirilgan (24.1) tengsizlik Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataladi.
Kiritilgan tushunchalar yordamida elementar geometriyaning qator teoremalarini Yevklid fazosiga ko‘chirish mumkin.
Agar x va y vektorlar ortogonal vektorlar bo‘lsa, u holda x + y vektorni tomonlari x va y bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak diagonali deb hisoblash tabiiydir. Quyidagi misolni ko‘rib chiqaylik.

4. 
   xossa. | x + y |²=| x |² +1 y |², ya’ni to‘g‘ri to‘rtburchak diagonali uzunligining kvadrati uning parallel bo‘lmagan ikki tomoni uzunliklari kvadratlari yig‘indisiga teng.
   

Isbot. Vektor uzunligi kvadratining ta’rifiga muvofiq:
| x + y |²=| x |² +1 y |². Skalyar ko‘paytmaning distributivligiga asosan: (x + y, x + y) = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y). x va y vektorlarning ortogonalligidan esa:
(x, y) = (y, x) = 0.

Demak, | x + y |² = (x,x) + (y,y) =| x |² +1 y |².

Yuqoridagi xossani umumlashtirsak, juft-jufti bilan ortogonal bo‘ lgan x, x, x,.., x vektorlar uchun
^{| x}i + ^x2 + ^x3 + ... + ^x_n ^|2 = ^{| x}i ^|2 + ^{| x}2 ^|2 + ^{| x}3 ^|2 +...+ ^| X_n ^|2
tenglik kelib chiqadi.
Endi Yevklid fazosida eng qulay bazis hisoblangan ortogonal bazis tushunchasini kiritamiz. Yevklid fazosidagi ortogonal bazislar analitik geometriyadagi to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi kabi rol o‘ynaydi.
Bizga n o‘lchamli V Yevklid fazosi berilgan bo‘lib, e, e,. ., e gV vektorlar o‘zaro ortogonal vektorlar bo‘lsin.

5. 
   ta’sdiq. n-o‘lchamli Yevklid fazosida berilgan o‘zaro ortogonal bo‘lgan va hech biri nolga teng bo‘lmagan e, e,-., e vektorlar chiziqli erkli bo‘ladi.
   

Isbot. Tasdiqni isbotlash uchun
*i^ei + *2^e2 + ... + ^An^en = ⁰
chiziqli kombinatsiyani qaraymiz.
Yuqoridagi tenglikning ikkala tomonini e ga skalyar ko‘paytirsak,
A^^ ^ei⁾ + ^A(e2^{, e}i⁾ + ... +^An ^(en^{, e}i⁾ = ⁰
tenglik hosil bo‘ladi. Berilgan vektorlar o‘zaro ortogonal va noldan farqli bo‘lganligi uchun (e_x, e ) ^ 0 va (e, e ) = 0, 2 < k < n. Bundan esa A =0 ekanligi kelib chiqadi.
Shunga o‘xshab, chiziqli kombinatsiyani e. ga skalyar ko‘paytirib, A = 0 ekanligini olamiz. Demak, A = A = .= A = 0 va e, e₂,..., e vektorlar chiziqli erkli. □

6. 
   ta’rif. Agar hech biri nolga teng bo‘lmagan e, e, . ., e vektorlar o‘zaro ortogonal bo‘lsa, u holda ular n o‘lchamli Yevklid fazosining ortogonal bazisi deyiladi.
   

155

Agar e, e₂, •••, e_K vektorlar o‘zaro ortogonal bo‘lib, xar birining uzunligi 1 ga teng bo‘lsa, ya’ni

tengliklar bajarilsa, u holda ular ortonormal bazis deyiladi.

7. 
   teorema. Ixtiyoriy n o‘lchamli Yevklid fazosida ortogonal bazis mavjud.
   

Isbot. Ma’lumki, n o‘lchamli fazoning ta’rifiga muvofiq unda qandaydir f, f, •••, f bazis mavjud. Bu f, f ,•••, f vektorlardan o‘zaro ortogonal bo‘lgan n ta vektor yasaymiz.
Dastlab, " - f deb olib, e₂ vektorni e₂ - f + ae_x ko‘rinishda izlaymiz. a sonini shunday tanlab olamizki, (e₂,e) — 0, ya’ni (f + ae_x, e ) — 0 bo‘lsin. Bundan


ekanligi kelib chiqadi. Demak, a sonni tanlash hisobiga e va e₂ ortogonal vektorlar topish mumkin.
Aytaylik, o‘zaro ortogonal va noldan farqli bo‘lgan e, e₂, •••, e_k__x vektorlar topilgan bo‘lsin. U holda e* vektorni


shaklida izlaymiz, ya’ni e_k vektorni e, e₂, •••, e_k4 va f vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi yordamida hosil qilamiz. ^, ^, •••, A_{k l} koeffitsientlarni e vektor bilan e, e, •••, e*_i vektorlarning ortogonalligi shartidan topamiz:

5. 
   e₂,•••, e_k4 vektorlar o‘zaro ortogonal bo‘lganliklari uchun, bu tengliklar ushbu ko‘rinishga keladi:
   

(e\, e\)


^et^{— f}t + 4^ei + ••• + \-i^ek-i


^(f + \^ei + ••• + 4:-i^et-1 , ^ei ^{) 0};
^(fk + \^ei + ••• + 4r-i^et-1, ^e2 ^{) — 0};