Algebra va sonlar nazariyasi

3

q p

3. 
   hol. 1 < 0 bo‘lsin. Ravshanki, bu holat faqatgina p
   

4 27
manfiy bo‘lgandagina o‘rinli. p =-p deb belgilasak, p > 0 bo‘lib, kub ildizlar ostida quyidagi o‘zaro qo‘shma kompleks sonlar hosil bo‘ladi:


/32 /32

• 
  i + i pL - i_ va - i - Jpl - i-.
  

2. 
   V 27 4 2 V 27 4
   

123

/ 3 2

Kub ildizdan qutulish uchun -^q + L — - — kompleks sonni

2. 
   V 27 4
   

trigonometrik shaklga o‘tkazamiz:


r -


2 +


2 f I 3 2
P1 q


'27 4


cosp-—^q, sinp> 0. 2r


Demak,


a -,


q p³ q^{2 1}Г p + 2 . p + 2 кк
-- + ij — -— - r³I cos— + isin—


2 V 27 4 ^ 3 3
p I p+ 2кк . p + 2кк ¹ cos — sin-


bu yerda к - 0,1,2. p
a/3 --^ ekanligidan esa


/-


К
3


ip I p + 2кк . p + 2кк
I cos- sm-

2. 
   V 3 3
   

p I (p + 2кк . (p+ 2кк

1. 
   cos^z 1sin
   

2. 
   V 3 3
   

Shunday qilib, / soni a soniga qo‘shma kompleks son bo‘ladi.
Demak, kubik tenglamaning qiyidagi ildizlarini hosil qilamiz
Ip { p + 2кк . p + 2кк
y -J — I cos i sin

• 
  31 3 3
  

J El I cos^p+ ^2кк- i sin P+^J-,1pp^-21

2. 
   V 3
   

bu yerda к - 0,1,2.


2


3

Bundan ko‘rinadiki, 1 < 0 bo‘lgan holda kubik

2. 
   27
   

tenglamaning uchchala ildizi ham haqiqiy bo‘lib, ular turli hil bo‘ladi. Misol 20.2. Tenglamani yeching: у³ - 9у + 8 = 0.
Kardano formulasidan foydalansak,
у = ³ + V 16-27 + T-27 = ^-4 + ijn + ^-4 - ijtt.


-4 + ijn =


1 - ijn'


p
va -£- = 3 ekanligini hisobga olsak,


у =-


1 - iVn 1+л/л


■+-


у 2 =


2 2
1 - i>/n 1+iVn


уз =■


2
1 - iVn


-од


-од


2
1+iV1T


=1,

1. 
   ^L3
   
2. 
   2 ^,
   

i V3L


-од =


2 ² 2 ¹ 2 2
Demak, tenglamaning uchchala ildizi ham haqiqiy son bo‘ladi.
Misol 20.3. Tenglamani yeching: x³ + 3x - 4 = 0.
Bu yerda ham Kardano formulasini qo‘llasak:
x=V2W4+T+^2 -V4+I=+$“/f.
Kub ildiz ostidagi ifodalar uchun


2 + >/5 =


va


2 -S =


1 -V5


ekanligidan foydalansak, tenglamaning ildizlarini hosil qilamiz:
i+V5 i-V5 _l
x = + =1,


f


\


од


2 2
'i


2


2


од

1. 
   ^^>/15
   
2. 
   2 ^,
   

__1_ iV1~5 ^од = 2 2 .


3


3


3


x₂ =


4


У


x₃ =


2


V


У


V


У


125




Endi to‘rtinchi darajali tenglamalarni yechishning L.Ferrariga tegishli bo‘lgan usulni keltirib o‘tamiz.
Keltiriladigan usulning maqsadi
x⁴ + ax³ + bx¹ + cx + d = 0 tenglamaning chap tomonini kvadratlar ayirmasi ko‘rinishida yozib olishdan iborat. U holda tenglamani ikkita ikkinchi darajali hadlar ko‘paytmasi sifatida yozish mumkin. Shu yo‘l bilan berilgan tenglamani yechish masalasi ikkita kvadrat tenglamani yechishga olib kelinadi. Buning uchun tenglama chap tomonini quyidagicha yozib olamiz:


Bu yerda У yordamchi noma’lum bo‘lib, kvadrat qavsdagi ifoda chiziqli ikkihadning kvadrati bo‘ladigan qilib tanlanadi. Ma’lumki, Ax² + Bx + C = 0 kvadrat uchhad chiziqli ikkihadning kvadrati


Bu shart У ga nisbatan uchinchi darajali tenglama bo‘lib, qavslarni ochgandan so‘ng quyidagi ko‘rinishga keladi:
У — Ьу + (ac — 4d) У — (c + ad — 4bd) = 0.
Bu tenglamaning ildizlaridan biri y bo‘lsa, u holda yuqoridagi kvadrat uchhad to‘la kvadrat shaklida ifodalanadi, ya’ni





bo‘lishi uchun B² - 4AC = 0 bo‘lishi zarur va yetarli. Bunga ko‘ra











2


yoki

x² + ^—x + — + kx +1 If x² + — x + — -kx-1 1 = 0

2 2 Д 2 2
holatlarga keladi.
Har bir ko‘paytuvchilarni nolga tenglab, tenglamaning 4 ta
ildizini topamiz. Agar x va x₂ birinchi ko‘paytuvchining, x₃ va x₄
ikkinchi ko‘paytuvchining ildizlari bo‘lsa, u holda
xx^ = ^yi +1, xx = ^y1 -l.
n ² 2 ^{3 4} 2
Bu tengliklarni qo‘shib, y = xx + ^хз^х4 munosabatni hosil
qilamiz. Demak, berilgan to‘rtinchi darajali tenglama ildizlari orqali
uchinchi darajali yordamchi tenglamaning y ildizining ifodasini
topish mumkin.
Misol 20.4. Tenglamani yeching: x⁴ + 2x³ — 6x² — 5x + 2 = 0.
Yuqorida keltirilgan usulga ko‘ra chap tomonni o‘zgartiramiz: