Algebra kafedrasi: Nosirova X mazu 38. ChIziqli fazolar va ularning o’LChami

Ta’rif 38.2. Agar va , uchun
(1)
tenglik kamida bittasi noldan farqli lar uchun o’rinli bo’lsa, berilgan vektorlar sistemasiga chiziqli erksiz (bog’langan) deyiladi. Aks holda, ya’ni (1) tenglik aynan , o’rinli bo’lsa, chiziqli erkli (bog’langan) vektorlar sistemasi deyiladi.
Shunday qilib, arifmetik fazoda berilgan chiziqli kombinasiya, maksimal chiziqli erkli va rang tushunchalari va bulardan kelib chiqqan xossalar teoremalar (asosiy teorema) to’g’ridan to’g’ri fazodagi vektorlar sistemasiga ko’chiriladi va o’rinli bo’ladi. Haqiqatan ham, bu xossalar va teoremalarni to’g’ri ekanligiga keyinchalik biz yana bir bor ishonch hosil qilamiz.
Endi biz vektorlarni chiziqli bog’liqliq ta’rifidan foydalanib, fazoda markaziy rol o’ynovchi o’lcham tushunchalarini kiritamiz.
Ta’rif 38.3. Agar maydon ustida fazo berilgan bo’lib, bu fazoning biror-bir vektorlari chiziqli erkli bo’lib, qolgan hamma vektorlari chiziqli bog’langan bo’lsa, fazoga o’lchamli (o’lchovli) fazo deyiladi va yoki ko’rinishda yoziladi.
Agarda da istalgancha chiziqli erkli vektorlarni topish mumkin bo’lsa, u holda ga cheksiz o’lchovli fazo deb ataladi va ko’rinishda yoziladi. Cheksiz o’lchovli fazolar ayrim yo’nalishli bo’lim bo’lib, biz bu yerda ularni o’rganmaymiz. Shunga qaramasdan chekli va cheksiz o’lchovli fazolar umumiy xossalarga egadirlar.
Misollar.
1. O’z ustida berilgan har qanday maydon 1 o’lchamli fazodir, chunki noldan farqli vektor va lar uchun

tenglikni qanoatlantiruvchi noldan farqli mavjud. Haqiqatan ham, agarda bo’lsa, u holda

bo’lib,

hosil bo’ladi. Shunday qilib, .
2. kompleks sonlar maydonini o’z ustida qaralganda, u 1 o’lchovli. Ammo uni haqiqiy sonlar maydonida qaralsa, 2 o’lchamli fazoni tashkil etadi, ya’ni va bo’ladi. Bu yerda ustida qaralganda chiziqli erkli va agarda ustida qaralsa, chiziqli erkli.
3. maydon ustida berilgan arifmetik fazo o’lchovli fazodir. Haqiqatan ham, u yerda bizga ma’lumki,

ort vektorlar chiziqli bog’lanmagan bo’lib, ixtiyoriy vektorlari chiziqli bog’liq bo’ladi, chunki uchun

tenglik o’rinlidir va demak

ta vektorlari chiziqli bog’langandir va demak bo’ladi.
4. fazo o’lchovlidir, chunki bu yerda vektorlar chiziqli erkli bo’lib, uchun

bo’lganligi tufayli ta vektorlari chiziqli bog’langan va demak bo’ladi.
5. matrisalar fazosi maydon ustida o’lchovli fazo bo’ladi, chunki da

ta matrisalari chiziqli erkli bo’lib, uchun

va demak unda vektorlari chiziqli bog’langandir, ya’ni bundan esa

ekanligi kelib chiqadi.
Xususan satrlar fazosi o’lchamli va ustunlar fazosi o’lchamlidirlar.
Ikkinchi misoldan ko’rinib turibdiki, abel gruppasini har xil maydonlar ustida ko’rib har xil fazolar hosil qilish mumkin, balki har xil o’lchovli fazolar ham hosil bo’lar ekan.