Algebra. Algebralar gomomorfizmi. Gruppa, halqa, jism, maydon. Yarimgruppa, yarimhalqa, vektor fazo II 1-ta’rif

II.3.21-misol. -butun sonlar additiv gruppasi ratsional sonlar additiv gruppasining gruppaostisidir.
II.3.22-misol. -musbat ratsional sonlar mulьtiplikativ gruppasi musbat haqiqiy sonlar mulьtiplikativ gruppasining gruppaostisidir.
_{II.3.23-ta’rif. Agar quyidagi shartlar bajarilsa algebraga yarimhalqa deyiladi:}





II.3.24-ta’rif. Agar turli algebra uchun quyidagi shartlar bajarilsa
(1) abelь gruppasi;
(2) -yarim gruppa;
(3) uchun va u holda - algebra halqa deyiladi.
additiv gruppaning neytral elementi halqaning noli deyiladi va 0 orqali belgilanadi.
halqa unda bajarilgan -amalning xossalariga mos ravishda nomlanadi. Agar ko’paytirish amali assotsiativ bo’lsa, halqa assotsiativ halqa, ko’paytirish amaliga nisbatan birlik element mavjud bo’lsa, halqa birlik elementli halqa deyiladi.
Agar halqada va elementlar uchun bo’lsa, nolning chap bo’luvchisi, esa nolning o’ng bo’luvchisi deyiladi. Nolning ham chap, ham o’ng bo’luvchisi bo’lgan element nolning bo’luvchisi deyiladi. Biz asosan birlik elementga ega bo’lgan assotsiativ halqalarni o’rganamiz. Halqaning birlik elementini odatda 1 orqali belgilaymiz.
II.3.25-ta’rif. Nolning bo’luvchilariga ega bo’lmagan assotsiativ, kommutativ halqada shart bajarilsa, bunday halqa butunlik sohasi deyiladi.
II.3.26-misol. -butun sonlar to’plami amallariga nisbatan halqa bo’lib, orqali belgilanadi. Bu halqa butunlik sahasidir.
II.3.28-teorema. halqa berilgan bo’lib lar halqaning ixtiyoriy elementlari bo’lsin, u holda
(I) agar bo’lsa, .
(II) agar bo’lsa, .
(III) .
(IV) .
(V) .
(VI) .
(VII) .
Isbot. I, II, III, IV tasdiqlar -kommutativ gruppaligidan bevosita kelib chiqadi. (VI)- xossaning isbotini keltiramiz.

tenglik shunga o’xshash isbot qilinadi.
(V) tasdiqning isboti.
. Demak. ;
U holda . Endi
ni hisobga olsak .
(VII) tasdiq (VI) ga o’xshash isbotlanadi.