Algebra. Algebralar gomomorfizmi. Gruppa, halqa, jism, maydon. Yarimgruppa, yarimhalqa, vektor fazo II 1-ta’rif

II.2.25-misol. algebra algebraning algebraosti bo’lib, dagi amallar dagi amallarni to’plam bo’yicha cheklanganidir.
II.3.1-ta’rif. Bizga turli algebra berigan bo’lib quyidagi shartlar bajarilsin:
-binar algebraik amal assotsiativ, ya’ni uchun bo’lsin.
da neytral element mavjud, ya’ni uchun shunday topilib, shart bajarilsin.
Har qanday uchun bo’lsin.
U holda - algebra gruppa deyiladi.
Gruppadagi amal kommutativ, ya’ni uchun shart bajarilsa, bunday gruppa abelь gruppasi deyiladi. Bunday gruppalar, gruppalar nazariyasidagi yuqori darajali tenglamalarni yechilishi muamolarini qo’ygan I. G. Abelь sharafiga abel gruppalari deb nomlangan.
Har bir element uchun element elementga chapdan simmetrik deyiladi. Gurppadagi elementlar soni uning tartibi deyiladi. Agar gruppa tartibi natural sondan iborat bo’lsa, bunday gruppa chekli tartibli gruppa, aks holda cheksiz tartibli gruppa deyiladi.
Gruppada - binar algebraik amal - qo’shish amali yoki - ko’paytirish amali bo’lishi mumkin. Bu amallarga nisbatan qo’llaniladigan tushunchalar quyidagi jadvalda keltirilgan:

1) binar amal 2) neytral element 3) simmetrik element	ko’paytirish birlik element teskari element	qo’shish nol qarama-qarshi element

Birlik elementi ko’pincha yoki orqali, nolni - orqali, ga teskari elementni , ga qarama-qarshi elementni orqali belgilash qabul qilingan.
Gruppadagi binar algebraik amal bo’lsa, bunday gruppani mulьtiplikativ gruppa, bo’lsa additiv gruppa deymiz. Gruppadagi amalni ko’paytirish deb qarash yozuvni ixchamlashtiradi, shu sabab, mulьtiplikativ gruppaning terminlaridan foydalanamiz.