Algebra. Algebralar gomomorfizmi. Gruppa, halqa, jism, maydon. Yarimgruppa, yarimhalqa, vektor fazo II 1-ta’rif

II.3.13-misol. -musbat haqiqiy sonlar to’plami bo’lsin. haqiqiy sonlarni ko’paytirish va teskarisini olish amallariga nisbatan mulьtiplikativ gruppa tashkil qiladi.
- haqiqiy sonlar to’plami esa qo’shish va qarama- qarshisini olish amallariga nisbatan additiv gruppa hosil qiladi. Bu gruppalarni mos ravishda va orqali belgilaylik. -biektiv akslantirish bo’lib elementlar uchun .
II.3.14-ta’rif. Gruppaning gruppadagi amallariga nisbatan yopiq bo’sh bo’lmagan to’plamostisi gruppaosti deyiladi.
-gruppa berilgan bo’lsin. U holda ta’rifga ko’ra va to’plamosti gruppaosti bo’lishi uchun elementlari uchun va bo’lishi yetarli. U holda . Ya’ni gruppaning neytral elementi gruppaosti uchun ham neytral element ekan. bo’lganligi uchun gruppaostida ham binar algebraik amal assotsiativdir. SHunday qilib, gruppaosti ham o’z navbatida gruppa hosil qilar ekan.
II.3.15-teorema. gruppa berilgan bo’lsin to’plamosti gruppaosti bo’lishi uchun elementlari uchun bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. Agar gruppaosti bo’lsa, uchun bo’lishi ravshan. Faraz qilaylik uchun bo’lsin. U holda xususan bo’lsa bo’lib, bundan elementlar uchun , ya’ni uchun bo’lishi kelib chiqadi. Agar uchun shartda ni bilan almashtirsak, uchun bo’lishi kelib chiqadi. Ya’ni - gruppaosti ekan.
II.3.16-teorema. Gruppaosti bo’lish munosabati noqat’iy tartib munosabatdir.
II.3.17-teorema. gruppaning gruppaostilaridan iborat bo’sh bo’lmagan V to’plamning barcha elementlarining kesishmasi yana gruppaosti bo’ladi.
gruppa va ning bo’sh bo’lmagan to’plamostisi birilgan bo’lsin. shartni qanotlantiradigan ning barcha gruppaostilarning kisishmasi to’plam yaratgan gruppaosti deyiladi va bu gruppaosti orqali belgilanadi. Agar -bir elementli to’plam bo’lsa, bu gruppa tsiklik gruppa deyiladi.
II.3.18-misol. to’plam berilgan bo’lsin. ni ga akslantiradigan har qanday biektiv akslantirish to’plamda aniqlagan o’ringa qo’yish deyiladi. to’plamda aniqlangan barcha o’rniga qo’yishlar to’plamini orqali belgilaymiz. da ikkita va o’rniga qo’yishlarning kompozitsiyasini uchun ko’rinishda aniqlasak, to’plam «_» amalga nisbatan gruppa tashkil etadi.
Xaqiqatdan ham, ikkita biektiv funktsiyalarning kompozitsiyasi yana biektiv funktsiya bo’lib, assotsiativdir. Har qanday biektiv funktsiyaga teskari funktsiya mavjud, tenglik bilan aniqlangan o’rniga qo’yish esa kompozitsiya amaliga nisbatan neytral elementdir.
Bu misolni uchun ko’rib chiqishni o’quvchilarga havola qilamiz.
II.3.19-misol. Muntazam -burchakni diagonallari kesishgan nuqta atrofida burchaklarga burishlar to’plami, burishlarni ketma-ket bajarish amaliga nisbatan gruppa hosil qiladi.
II.3.20-misol. -tekislikdagi vektorlar to’plami bo’lsin. U holda vektorlarni qo’shish amaliga nisbatan gruppa hosil qiladi.