Аэрология

6.2. Основные законы аэродинамики
Закон сохранения массы. Применительно к движению воздуха этот закон можно сформулировать следующим образом: масса любого объема воздуха, состоящего из одних и тех же частиц,
77

остается постоянной в процессе его движения, т. е. изменение массы во времени равно нулю. Если в потоке воздуха выделить элементарный объем, с постоянной плотностью, то закон сохра­нения массы выразится в виде
dM/d* = 0, (6.3)
где М — масса воздуха в выделенном объеме; t — время.
Уравнение (6.3), выраженное через проекции скорости потока на оси координат, имеет вид
dp/dt -1- д (ри)/дх + д (pv)/dy + д (pw)/dz = 0, (6.4)
где и, v, w — проекции скорости потока на оси координат.
Выражение (6.4) называется уравнением неразрывно­сти потока. Между полной производной по времени в уравнении (6.3) и частной производной по времени в уравнении (6.4) сущест­вует различие. Полная производная учитывает изменение диффе­ренцируемой величины вследствие развития процесса во времени и перемещения рассматриваемого объема в пространстве, а част­ная производная не учитывает изменения вследствие перемеще­ния в пространстве.
Для стационарного (установившегося) движения, при котором характеристики потока (плотность, скорость, давление и др.) в некоторой фиксированной точке пространства не изменяются во времени, dp/dt = 0 и уравнение неразрывности примет вид
д (ри)/дх + д (pv)/dy + d(pw)ldz - 0. (6.5)
При р — const уравнение (6.5) выразится в виде
ди/дх + dvldy + dw/dz = 0. (6.6)
Так как в выработке постоянного сечения o = uj = 0, то из урав­нения (6.6) найдем, что и = const, т. е. скорости движения воз­духа в сходственных точках постоянны. Из уравнения (6.6) сле­дует, что увеличение скорости потока в одном направлении должно вызывать уменьшение ее в другом направлении, так как сумма членов в его левой части будет равна нулю тогда, когда одни из них будут положительными (ускорение течения), другие — отрицательными (замедление). Для случая стационар­ного движения воздуха в выработке из уравнения (6.3) получим
М = const. (6.7)
Таким образом, массовый расход воздуха в выработке посто­янный.
Выразим массовый расход воздуха в выработке в виде
M^pQ,
где Q — объемный расход воздуха в выработке.
Тогда для изотермического потока (т. е. при р^ const) из выражения (6.7) получим
Q = const, (6.8)
78

Рис. 6.2. Схема разветвления воз­душных потоков
Рис. 6.3. Схема к выводу уравнения Бернулли для струйки воздуха в выработке
Из выражения (6.8), называемого уравнением расхода, следует, что в случае стационарного движения объемный расход воздуха в выработке постоянный.
При разветвлении потока уравнение (6.8) примет вид

(6.9)

ZQt=0,
где i — номер потока; п — число потоков в разветвлении.
Для схемы, показанной на рис. 6.2, уравнение (6.9) выразится в виде
где Q_u Q₂, Q-3> Qb Qb— расход воздуха соответственно в 1-, 2-, 3-, 4-, 5-м потоках (положительными приняты расходы входя­щих в разветвление потоков, отрицательными — расходы выходя­щих из него потоков).
Выразим расход воздуха в выработке в виде
(6.10)
Q=^uS_B,
где 5в —площадь поперечного сечения выработки. Из выражений (6.8) и (6.10)
uS_B = const.
(6.П)
Из выражения (6.11) следует, что при постоянном расходе воздуха чем больше поперечное сечение выработки, тем меньше скорость движения воздуха.
Закон сохранения энергии. Применительно к движению воз­духа этот закон может быть сформулирован следующим обра­зом: изменение энергии произвольного объема движущегося воз­духа за некоторый промежуток времени равно сумме количества сообщенной ему тепловой энергии и работы внешних сил, прило­женных к воздуху, т. е.
ДЕв + ДЯ_п + Д£к = Д<г + ДЛ, (6.12)
79

где АЕ_В — изменение внутренней энергии движущегося воздуха, определяемой кинетической энергией движения молекул и по­тенциальной энергией их взаимодействия; АЕ_п — изменение по­тенциальной энергии движущегося воздуха; АЕ_К— изменение ки­нетической энергии движущегося воздуха; AQ— изменение теп­ловой энергии движущегося воздуха; АЛ — работа внешних сил. Внешними силами при движении воздуха по выработке явля­ются силы сопротивления движению воздуха (силы трения) и статического давления. Для адиабатического потока, при котором A£^,_B=AQ = 0, и установившегося движения элементар­ной струйки* воздуха выражение (6.12) можно выразить в виде
dp + gpdz+d (ри²)/2 + gpdh = О, (6.13)
где h — работа внешних сил, отнесенная к единице веса воздуха.
Выражение (6.13) называется уравнением Бернулли в диффе­ренциальной форме (по имени ученого Даниила Бернулли, полу­чившего это уравнение в 1738 г.).
Интегрируя выражение (6.13) вдоль струйки от / сечения до II сечения выработки (рис. 6.3) при p = const, получим
(Pi~P2) + gp(Zi-z₂)-h(9/2){ui-~ui) = h₇ (6.14)
где ри р2 — статическое давление воздуха соответственно в / и // сечениях; г_и г₂ — высота столбов воздуха плотностью pi и р2 в I vi II сечениях соответственно; щ, щ — средняя скорость дви­жения воздуха в / и // сечениях соответственно.
При разной плотности воздуха в сечениях I я II уравнение (6.14) для всего потока в выработке примет вид
(Рг — Рч) + 8 (р А—р₂2₂) + [К (piMi /2) — h (p₂wi/2) ] = К (6.15) где k\, k₂ — коэффициенты кинетической энергии, учитывающие неравномерность распределения скоростей движения воздуха в / и II сечениях выработки; h-—работа всех внешних сил, выпол­няемая потоком при перемещении из / сечения во // сечение; для круглых штрекообразных выработок