Ҳабибуллаев Иброҳим, Утанов Бунёд

Мустақил ишлаш учун масала
Мамлакатнинг 14 та худуди бўйича 2015 йилда саноат маҳсулотлари ҳажми ва аҳолининг ўртача сони тўғрисида маълумотлар берилган:

№	Худудлар номи	Саноат маҳсулотлари ҳажми, млр.сўм(y)	Доимий аҳолининг йиллик ўртача сони, минг киши(x)
1	Қорақалпоғистон Республикаси	2387,6	1791,1
2	Андижон	9744,6	2910,5
3	Бухоро	5148,9	1815,2
4	Жиззах	1474,5	1276,2
5	Қашқадарё	8721,9	3025,6
6	Навоий	9286,9	927,9
7	Наманган	2861,8	2603,4
8	Самарқанд	6095,5	3583,9
9	Сурхондарё	1910,7	2411,5
10	Сирдарё	2820,6	790,6
11	Тошкент вилояти	14401,0	2794,1
12	Фарғона	7170,2	3505,3
13	Хоразм	2616,0	1746,9
14	Тошкент шаҳри	18986,1	2393,2

Ҳисобланг:

1. 
   Эрксиз параметр y ни эркли параметр x га боғланишини тавсифлаш учун чизиқли функция параметрларини ҳисобланг:
   
2. 
   Чизиқли моделни аппроксимациянинг ўртача хатолиги Ā ва F- Фишер критерияси орқали баҳоланг.
   

2. боб. Чизиқсиз регрессия

1. 
   Чизиқсиз регрессия моделлари
   

Агар иқтисодий жараёнлар орасида чизиқсиз муносабатлар мавжуд бўлса, у ҳолда улар мос равишда чизиқсиз функциялар орқали ифодаланади:

масалан, тенг томонли гипербола - y  a  ^b   ;
x
иккинчи тартибли парабола -

y  a  b  x  c  x ²   ва бошқалар.

Чизиқсиз регрессия икки синфга бўлинади:

• 
  тенгламага киритилган ўзгарувчиларга нисбатан чизиқсиз, лекин баҳоланувчи параметрлар бўйича чизиқли регрессиялар;
  
• 
  аниқланувчи параметрлар бўйича чизиқсиз регрессия.
  

Киритилган ўзгарувчиларга нисбатан чизиқсиз регрессияга қуйидаги функциялар мисол бўла олади:

• 
  турли даражали полиномлар - y  a  b  x  c  x ²   , y  a  b  x  c  x ²  d  x³   ;
  

• 
  тенг томонли гипербола -
  

y  a  ^b  .
x

Баҳоланувчи параметрлар бўйича чизиқсиз регрессияга:

• 
  даражали - y  a  x^b  ;
  

• 
  кўрсаткичли -
  
• 
  экспоненциал -
  

y  a  b ^x   ;
y  e^abx  

функциялар мисол бўла олади.

Тенгламага киритилган ўзгарувчилар бўйича чизиқсиз регрессиянинг параметрларини баҳолаш кўп қийинчиликларни юзага келтирмайди. Улар чизиқли регрессиядаги каби энг кичик квадратлар усули (ЭККУ) билан аниқланади.

Иккинчи даражали парабола тенгламасида

0 1 2
y  a  a x  a  x ²   ,

ўзгарувчиларни
x  x₁,
x ²  x
, деб алмаштириб қуйдаги икки омилли чизиқли

2
регрессия тенгламасини оламиз;


y  a₀  a₁ x₁  a₂ x₂   .

Мос равишда учинчи, тўртинчи ва ҳоказо k  тартибли полиномларда
ушбу усулни қўллаб, уч, тўрт ва ҳоказо k омилли чизиқли регрессия моделларини олиш мумкин.

Мисол учун
y  a  a  x  a  x ²  ...  a  x ^k   ^,
k  тартибли полиномда

0 1 2 k
y  a₀  a₁  x₁  a₂  x₂  ...  a_k  x_k   , кўп омилли чизиқли регрессия моделини ҳосил қиламиз. Ушбу тенгламанинг параметрларни ЭККУ билан ҳеч қандай қийинчиликсиз аниқлаш мумкин.
Тажрибалар шуни кўрсатадики, чизиқсиз регрессиялар ичида кўпроқ иккинчи тартибли парабола, айрим ҳолларда учинчи тартибли парабола ишлатилади. Юқори тартибли полиномларни қўллашдаги чегараланишлар ўрганилаётган тўпламнинг бир жинслилиги билан боғлиқ, полином даражаси қанча юқори бўлса эгри чизиқдаги синишлар шунча кўп бўлади ва мос равишда натижавий белги тўплами ҳам бир жинсли бўлмайди. Ундан ташқари маълумотларни тўплашда ва ҳисоблашларда ноаниқликлар келтириб чиқаради.
Иккинчи тартибли параболани омил белги қийматларининг маълум бир оралиқда қаралаётган ўзгарувчининг боғланиш хусусиятини ўзгаришига: яъни тўғри боғланишни тескари боғланишга, тескари боғланишни тўғри боғланишга олиб келадиган ҳолатларда қўллаш мақсадга мувофиқ. Бундай ҳолатларда омил белгининг натижавий белгини экстримал (максимал ёки минимал) қийматга эриштирувчи қиймати аниқланади.
Бунинг учун иккинчи даражали параболанинг ҳосиласи нолга

тенглаштирилади; яъни
y^ˆ _x
 a  b  x  c  x ²
дан ҳосила оламиз ва
b  2  c  x  0 ,

бундан
x   ^b

2c

ҳосил бўлади.

Агар берилган маълуматлар боғланиш йўналишини ўзгаришини таъминлай олмаса, у ҳолда иккинчи тартибли парабола параметрларининг маъносини тушиниш қийин бўлади. Бундай ҳолатда боғланиш шакли бошқа чизиқсиз модель билан алмаштирилади.

Иккинчи даражали параболанинг a, b, c парамерларининг қийматларини топиш, ЭККУни қўллаб қуйдаги нормал тенгламалар системасини математиканинг бирор бир усулидан фойдаланиб ечишга олиб келади:
^ _ y  n  a  b  _ x  c  _ x ² ,

^ y  x  a 
x  b 
x ²  c 
x³ ,
(4.1)

b  0
ва c  0
^    


^_y  x ²  a  _ x ²  b  _ x³  c  _ x ⁴ .
бўлганда эгри чизиқ энг юқори нуқтага, яъни эгри чизиқнинг

синиш, боғланиш йўналишини ўзгартириш нуқтасига нисбатан симметрик бўлади, айнан ўсиш пасайишга ўзгаради. Бундай функцияларнини иқтисодиётда жисмоний меҳнат билан шуғулланувчи ишчиларнинг иш ҳақини уларнинг ёшига боғлиқлигини ўрганишда кузатиш мумкин. Ишчиларнинг ёши катталашиб борган сари уларнинг тажрибаси ортиши билан бирга уларнинг малакаси ҳам юқорилашиб иш ҳақи кўпайиб боради. Лекин маълум бир ёшдан бошлаб организимни қариши натижасида меҳнат самарадорлигини пасайиши ишчининг иш ҳаққини пасайишига олиб келиши мумкин.
Агар ўзаро боғланишнинг параболик шакли натижавий кўрсаткични аввал ўсишини, сўнгра пасайишини намоиш этса, у ҳолда омил белгининг натижани максимумга эриштирадиган қиймати топилади. Масалан, оилада
 махсулот(бирлигини) даромад даражасига боғлиқ ҳолда истеъмол

қилиниши
y^ˆ _x
 5  60  x  x ²
тенглама билан тавсифлансин. Тенгламанинг

биринчи тартибли ҳосиласини нолга тенглаб
y^ˆ1
 60  2 x  0 ^{, максимал}

x
истеъмол миқдорини берувчи даромад қийматини топамиз, яъни сўмда истеъмол максимал даражага етади.
x  30 минг

b  0 ва
c  0
бўлганда иккинчи даражали парабола ўзининг энг қуйи

нуқтасига симметрик бўлади. Бундай ҳолат функциянинг боғланиш йўналишини (камайишни ўсишга) ўзгартирувчи энг кичик қийматни топиш имконини беради. Фараз қилайлик ишлаб чиқариш ҳаражатларини ишлаб чиқарилган махсулот ҳажмига боғлиқлиги қуйидаги тенглама билан тавсифлансин:

y^ˆ _x  1200  60  x  2  x ^,
2

бу ҳолатда энг кам ҳаражатга эришилади  60  2  2  x  0.
x  15
махсулот бирлиги ишлаб чиқарилганда

Бунга қуйидаги жадвалдаги х нинг қийматларини тенгламага қўйиб кўриб ишонч ҳосил қилиш мумкин:

x	10	11	12	13	14	15	16	17
y	800	782	768	758	752	750	752	758

Иккинчи тартибли парабола эгри чизиғи симметрик бўлганлиги сабабли у аниқ тадқиқотларда ҳар доим ҳам қўлланилавермайди. Тадқиқотчи кўпинча параболанинг тўлиқ шакли билан эмас балки, унинг айрим сегментидан фойдаланиб иш юритади. Параболик боғланишнинг параметрлари ҳар доим ҳам мантиққа эга бўлавермайди. Шунинг учун боғланиш графиги иккинчи тартибли параболани аниқ ифодаламаса, у бошқа чизиқсиз функцияга алмаштирилади, масалан даражали функцияга. Иккинчи тартибли парабола кўпроқ қишлоқ хўжалигида хосилдорликни берилган ўғитлар миқдорига боғлиқлигини тавсифлаш учун қўлланилади. Боғланишнинг бу шакли қуйидагича асосланади, -ўсимликка берилаётган ўғитнинг миқдори ортиши билан ҳосилдорлик, фақат берилаётган ўғитнинг миқдори оптимал дозасига етгунга қадар ошиб боради, дейилади. Дозанинг кейинги ортиши ўсимлик учун зарар ва ҳосилдорликни камайишига олиб келади. Шунинг учун амалда бундай боғланиш кўпроқ параболанинг сегменти кўринишида берилади.