Ҳабибуллаев Иброҳим, Утанов Бунёд

3. 2. Чизиқли регрессия, унинг параметрларини баҳолаш Параметрлари аниқ иқтисодий маънога эга бўлган чизиқли регрессия
эконометрикада кенг қўлланилади. Чизиқли регрессия (3.3) ёки (3.4) кўринишдаги тенгламаларни тузишга олиб келади.
y^ˆ_x  a  b  x тенглама х омил белгининг қийматилар тўпламида унинг
ҳақиқий қийматларини тенгламага қўйиб у натижавий белгининг назарий қийматларига эга бўлишни таъминлайди.
Чизиқли регрессияни тузиш унинг a ва b параметрларини баҳолашга олиб келади. Чизиқли регрессиянинг параметрларини баҳолаш турли усуллар билан амалга оширилади.

Чизиқли регрессиянинг параметрларини баҳолашнинг классик усулларидан бири энг кичик квадратлар усули(ЭККУ) дир.
ЭККУ (3.3) тенгламасининг a ва b параметрларини шундай қийматларини топиш имкониятини берадики, натижавий у белгининг

ҳақиқий қийматларини ҳисобланган
y^ˆ_x
назарий қийматларидан

оғиши(фарқи)нинг квадратлари йиғиндиси минимум даражада бўлади ва у қуйдагича ифодаланади:

_( y_i
i1

• 
  y^ˆ
  

i

x
i
) ²  min
(3.6)

Агар нуқталардаги оғишларни кўринишни олади:
 _i  y_i  y^ˆ _x ^{деб белгиласак (3.6) қуйидаги}

n
_ ²  min .
i1

n
_{ } 2 i1
ни S билан белгилаб қуйидаги ифодани ёзамиз,

S  _y_i
i 1
2

• 
  y^ˆ_xi 
  

 _
i 1
y_i
^{ a  b  x 2} ; (3.7)

i
(3.6) функциянинг минимум қийматини топиш учун (3.7) ифодада а ва b параметрлар бўйича хусусий ҳосилаларни топиб,



n
^S  2
^a i1



y_i  2  n  a  2  b_ x_i ,
i1



n
^S  2
^b i1


y  x  2  a_ x_i
i1


 2  b_
i1


x ² .

i
ҳосилаларни нолга тенглаб икки номаълумли иккита тенламалар системасини ҳосил қиламиз:


^  2_n



y_i  2  n  a  2  b_ x_i  0,


i1 n
i1
n n

^ 2_ y  x  2  a_ x_i  2  b_ x  0.



i

2

 i1
i1
i1

Бундан қуйдаги нормал тенгламалар системасини оламиз:



n
^ n  a  b  _
x_i  _
y_i ,

n


i 1
n n
i 1 n
(3.8)

^a  _ x
 b_ x²  _ x

• 
  y .
  

i
^ i 1
i
i 1
i i
i 1

Ушбу тенгламалар тизимдан a ва ^b ларни топиш мумкин.
(_ x ² )  (_ y )  (_ x )  (_ x  y )


_{a } i i i i i _,

i

i
n(_ x ² )  (_ x ) ²
_{b } n  (_ x_i y_i )  (_ x_i )  (_ y_i ) _.
n(_ x ² )  (_ x )²

i i

Топилган параметрларни мос равишда a_o ва b_o

деб белгилаймиз. Шу a_o

ва b қийматларда _  min
n

o
² шарт бажарилади.
i1

Чизиқли регрессия тенгламасида b параметр регрессия коэффициенти дейилади. Унинг қиймати таъсир этувчи омил бир бирликда ўзгарганда натижанинг ўртача қанчага ўзгаришини кўрсатади. Масалан, ишлаб чиқариш

функцияси
y^ˆ_x  3000  2  x
бўлсин (у - ҳаражат (млн.сўм), х - махсулот

бирлиги миқдори). Ишлаб чиқариш функциясидан кўринадики маҳсулот ҳажмининг бир бирликка ўзгариши ишлаб чиқариш ҳаражатларини ўртача 2 млн. сўмга ортишини кўрсатади, яъни қўшимча 1-бирлик ишлаб чиқариш учун ҳаражатларни ўртача 2 млн. сўмга кўпайтиришни талаб этади.
Регрессия тенгламасида а параметр у нинг х = 0 бўлгандаги қиймати, х омилнинг ноль қийматида а ҳеч қандай иқтисодий маънога эга бўлмайди,

айниқса
a  0
a  0 бўлганда.
бўлганда натижанинг нисбий ўзгариши x омилнинг ўзгаришига

нисбатан секинроқ бўлади. Бошқача айтганда у натижанинг вариацияси х омил вариациядан кичик, яъни х бўйича вариация коэффициенти у натижа
^{бўйича вариация коэффициентидан катта:} V_x  V_y . ^{. Буни исботлаш учун омил}

ва натижанинг нисбий ўзгаришларини таққослаб кўрамиз:

dy _ dx

ёки
dy _ y _;

b  dx _ a  b  x _;


b  x  a  b  x.

y x dx x dx x

Бундан a  0 эканлиги келиб чиқади.

Мисол. Фараз қилайлик, бир турдаги маҳсулот ишлаб чиқариш корхоналар гуруҳи бўйича берилган маълумотлар асосида ишлаб чиқариш фукциясини тузиш ва уни таҳлил қилиш талаб этилади.
3.1.-жадвал
Ҳисоблаш жадвали

Корхона рақами	Ишлаб чиқарган махсулот ҳажми минг дона x	Ишлаб чиқаришга ҳаражатлар млн.сўм y	x.y	x 2	y 2	y^ˆx
1	1	30	30	1	900	31,1
2	2	70	140	4	4900	67,9
3	4	150	600	16	22500	141,6
4	3	100	300	9	10000	104,7
5	5	170	850	25	28900	178,4
6	3	100	300	9	10000	104,7
7	4	150	600	16	22500	141,6
Жами	22	770	2820	80	99700	770,0

Маълумотларни дастлабки таҳлилига кўра ишлаб чиқариш функцияси

y  a  bx  e

кўринишига эга бўлади.

Ушбу ишлаб чиқариш функцияси учун нормал тенгламалар системаси (3.8) қуйдаги кўришни олади:
 ^{7  a  22  b  770,}


^22  a  80  b  2820.
Системани ечиб, қуйдагини оламиз:
a  5,79; b  36,84 .


а ва b параметрларнинг қийматларини берилган чизиқли регрессия тенгламасига қўйиб қуйидаги регрессия тенгламасини ёзамиз.
y^ˆ_x  5,79  36,84  x.
Тенгламага x нинг қийматларини қўйиб у нинг назарий қийматларини топамиз (3.1-жадвалнинг охирги устунига қаранг). Ушбу ҳолатда а параметрнинг қиймати ҳеч қандай иқтисодий маънога эга эмас.
Юқоридаги мисолда қуйдагиларни кўриш мумкин:

x  3,14;
 _x  1,25;
V_x  39,8%.

y  110;
 _y  49,14;
V _y  42,14%.

a  0 бўлиши, натижанинг ўзгариши омил белгининг ўзгаришидан
тезлигини кўрсатади; яъни
V_y  V_x .

Чизиқли жуфт регрессия эконометрикада кўпроқ қуйидаги истеъмол функциясини ўрганишда қўлланилади:

C  K  y  L,

бу ерда: С – истеъмол;

y – даромад;
K ва L - функциянинг параметрлари.
Ушбу чизиқли регрессия тенгламаси одатда қуйдаги баланс муносабати билан биргаликда қўлланилади.
y  C  I  r ,
бу ерда: I - инвестиция хажми;
r - жамғарма.
Соддалик учун фараз қилайлик, даромад истеъмол ва инвестиция учун сарфлансин. Шундан келиб чиқиб қуйдагича тенгламалар системаси ўрганилади:
^{C  K  y  L,}


^ y  C  I

Ушбу тенгламалар системасида баланс муносабатининг мавжудлиги регрессия коэффиценти қийматига бирдан катта бўлмаслик шартини қўяди,

яъни K  1
Фараз қилайлик ҳисобланган истеъмол функцияси қуйдагича бўлсин:
C^ˆ  1,9  0,65  y. ^(3.9)

Ушбу функция ҳар бир миллион сўм даромаддан истеъмолга ўртача 650 млн. сўм, инвестицияга 350 млн. сўм сарфланишини кўрсатади. Агар инвестиция миқдорининг даромадга нисбатан регрессиясини ҳисобласак,

яъни
I^ˆ  a  b  y
, у ҳолда регрессия тенгламаси қуйдаги кўринишга эга

бўлади:

I^ˆ  1,9  0,35  y. ^(3.10)

Охирги иккита тенгламада регрессия коэффицентлари 0,65+0,35=1

тенглик билан боғланган.

Агар регрессия коэффиценти 1 дан катта бўлса, у ҳолда
y  C  I  ўринли

бўлади, яъни истеъмолга нафақат даромад жарғармага ҳам сарфланади.
Истеъмол функциясида регрессия коэффиценти мультипликаторни ҳисоблаш учун ҳам фойдаланилади:
m  ¹ ;
1  b
бу ерда: m- мультипликатор; _b- истеъмол функцияси регрессия коэффициенти.

Бизнинг мисолимизда
m  1/1  0,65  2,86 . Мультипликаторнинг бу

қиймати қўшимча 1млн. сўмни узоқ муддатли жамғармага қўйиш билан ҳар қандай шароитда ҳам қўшимча 2,86 млн. сўм даромад олинишини кўрсатади.

3.