А. А. Самарский, А. В. Гулин

метод
(4) 
сходится 
и 
для погрешности справедлива оценка
IU„—
л
:||
а
^
рп
||
а
-
0
—х||л. 
(29)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно показать, что выполнены 
условия леммы 3 при 
D = A.
Запишем неравенство (27) для 
D = A
102

---

в виде
р
( £—тЛВг- V
(Е— хВ-'А).
Раскрывая скобки в правой части этого неравенства, получим
т
А (В7- 1 + В -1) А
> ( 1 - р 2) 
А +
х
* А В ^ А В -*А.
(30)
Согласно свойству 7) матричных неравенств можно умножить 
каждую часть неравенства (30) справа на матрицу 
L = A~lB
и од­
новременно слева — на матрицу 
LT= B TA~'.
Тогда получим эквива­
лентное (30) неравенство
т (
В+ Вт)
(1— р2) 
ВтА-'В+т2А
,
которое совпадает с (28). Таким образом, из (28) следует (27) и 
согласно лемме 3 — оценка (29). Поскольку р е ( 0 , 1), из оценки 
(29) получаем, что ||х„—
jc
|L->0 при n-э-оо, т. е. метод (4) сходится. 
Теорема 2 доказана.
З а м е ч а н и е . Лемма 3 и теорема 2 остаются справедливыми 
и в случае комплексных матриц 
А и В,
если только заменить 
S T
и 
В т
на матрицы S* и 
В \
комплексно сопряженные с матрицами 
S и 
В.
В частности, условие (28) принимает вид
В
0
— 
(31)
где 
В а = 0,5(В+В').
§ 5. Многочлены Чебышева
1. 
Многочлен Чебышева на отрезке [—1, 1]. В ряде вопросов 
численного анализа, связанных с проблемой минимизации погреш­
ности вычислительного алгоритма, нашли применение многочлены, 
наименее уклоняющиеся от нуля.
Рассмотрим следующую задачу: среди всех многочленов сте­
пени 
п
со старшим коэффициентом 1 найти такой многочлен 
Тп(х),
для которого величина
max 
\Тп {х)\
является минимальной. Многочлен, обладающий этим свойством, 
называется 
многочленом, наименее уклоняющимся от нуля на от­
резке
[ — 1, 1] или 
многочленом Чебышева.
В этом параграфе бу­
дет показано, что функция
Тп(х)
= 2 ‘“n cos(rc arccos 
х)
(1)
является многочленом Чебышева.
Рассмотрим сначала функцию
Рп(х) =
cos
(п
arccos
х),
(2)
которая отличается от 
Тп(х
) только постоянным множителем. 
Проводя преобразование
cos ( ( n +
1
) arccos 
х)
+cos ((
п
— 
1
) arccos 
х) =
= 2 cos 
(п
arccos 
х)
cos (arccos 
х)
= 2
хРп (х),
103

---

убеждаемся в том, что справедливо рекуррентное соотношение
Я„+, 
(х)
—2
хРп (х) +Рп-, (х)
= 0. 
(3)
Кроме того, согласно (2) имеем 
Р0(х) =
1, 
Р1(х)=х.
Отсюда и из
(3) по индукции легко доказать, что 
Рп(х)
— многочлен степени 
п
со старшим коэффициентом 2”_1, 
п=
1, 2, ... 
Следовательно, 
Тп(х
) — многочлен степени 
п
со старшим коэффициентом 1.