А. А. Самарский, А. В. Гулин


R(x'k) = (— 1 )*ilQrtII — Qn(-«*)»



Download 18,25 Mb.
Pdf ko'rish
bet85/257
Sana19.04.2022
Hajmi18,25 Mb.
#562450
1   ...   81   82   83   84   85   86   87   88   ...   257
Bog'liq
А. А. Самарский, А. В. Гулин

R(x'k) = (—
1 )*ilQrtII — Qn(-«*)» 
k = 0,
1, . . . ,
n
и согласно (10) получим, что многочлен 
R(x)
на отрезке [ — 1, 1] 
меняет знак 
п
раз, т. е. имеет 
п
корней. Но это невозможно пото­
му, что 
R(x)
— многочлен степени 
п—
1, отличный от тождествен­
ного нуля. Полученное противоречие и доказывает лемму 1.
З а м е ч а н и е . Справедливо утверждение, обратное лемме 1: если 
Q n (x)
многочлен со старшим коэффициентом 1, наименее уклоняющийся от нуля 
на 
[— 1, 1], то 
найдется система точек (8), для которой выполняются равенства 
(9 ), причем числа Q n ( x //) имеют чередующиеся знаки.
На доказательстве этого утверждения останавливаться не будем.
Согласно (
6
), (7) многочлен 
Тп(х)
удовлетворяет всем усло­
виям леммы 
1
, поэтому он наименее уклоняется от нуля на отрез­
ке [—
1

1
] среди всех многочленов степени 
п
со старшим коэффи­
циентом 
1
.
2. Случай произвольного отрезка. Иногда требуется найти мно­
гочлен, наименее уклоняющийся от нуля на заданном отрезке 
[а, Ь\,
среди всех многочленов степени 
п
со старшим коэффициен­
том 1. Эта задача сводится к предыдущей с помощью замены


Ь + а
t —
---
X
----1— ,
b — а 
Ь — а
переводящей отрезок 
а ^ х ^ Ь
в отрезок — l ^ ^ c i . При такой за­
мене многочлен Чебышева
Tn(t) =2'~п cos(n
 arccos 
t)
 
(11)
преобразуется к виду
Fn
 (х) = 2
1"'1
 cos 
(п
 arccos -2- ~ ^
ь
 
\ ,
причем коэффициент при 
х п
оказывается равным 
2п/(Ь

а )п.
Сле­
довательно, многочленом, наименее уклоняющимся от нуля на 
[а, Ь],
среди всех многочленов степени 
п
со старшим коэффициен­
том 
1
является многочлен
Тп (х) =
—— — cos 
(п
arccos 
2х 
^b а^
2%n~i

ь
— 
а
Корни этого многочлена расположены в точках

Download 18,25 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   81   82   83   84   85   86   87   88   ...   257




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish