А. А. Самарский, А. В. Гулин

R(x'k) = (—
1 )*ilQrtII — Qn(-«*)» 
k = 0,
1, . . . ,
n
и согласно (10) получим, что многочлен 
R(x)
на отрезке [ — 1, 1] 
меняет знак 
п
раз, т. е. имеет 
п
корней. Но это невозможно пото­
му, что 
R(x)
— многочлен степени 
п—
1, отличный от тождествен­
ного нуля. Полученное противоречие и доказывает лемму 1.
З а м е ч а н и е . Справедливо утверждение, обратное лемме 1: если 
Q n (x) —
многочлен со старшим коэффициентом 1, наименее уклоняющийся от нуля 
на 
[— 1, 1], то 
найдется система точек (8), для которой выполняются равенства 
(9 ), причем числа Q n ( x //) имеют чередующиеся знаки.
На доказательстве этого утверждения останавливаться не будем.
Согласно (
6
), (7) многочлен 
Тп(х)
удовлетворяет всем усло­
виям леммы 
1
, поэтому он наименее уклоняется от нуля на отрез­
ке [—
1
, 
1
] среди всех многочленов степени 
п
со старшим коэффи­
циентом 
1
.
2. Случай произвольного отрезка. Иногда требуется найти мно­
гочлен, наименее уклоняющийся от нуля на заданном отрезке 
[а, Ь\,
среди всех многочленов степени 
п
со старшим коэффициен­
том 1. Эта задача сводится к предыдущей с помощью замены
, 
2 
Ь + а
t —
---
X
----1— ,
b — а 
Ь — а
переводящей отрезок 
а ^ х ^ Ь
в отрезок — l ^ ^ c i . При такой за­
мене многочлен Чебышева
Tn(t) =2'~п cos(n
 arccos 
t)
 
(11)
преобразуется к виду
Fn
 (х) = 2
1"'1
 cos 
(п
 arccos -2- ~ ^
ь
 
\ ,
причем коэффициент при 
х п
оказывается равным 
2п/(Ь
—
а )п.
Сле­
довательно, многочленом, наименее уклоняющимся от нуля на 
[а, Ь],
среди всех многочленов степени 
п
со старшим коэффициен­
том 
1
является многочлен
Тп (х) =
—— — cos 
(п
arccos 
2х 
^b а^
2%n~i
^ 
ь
— 
а
Корни этого многочлена расположены в точках