А. А. Самарский, А. В. Гулин

rk)
II 
Ark f
(
8
)
Таким образом, в методе минимальных невязок переход от 
k-н
итерации к (&+1)-й осуществляется следующим образом. По най­
денному значению 
хк
вычисляется вектор невязки 
гк=Ахк—f
и по
116

---

формуле (
8
) находится параметр r ftfl. Затем по формуле (5) до­
считывается вектор 
x,l+t.
Метод минимальных невязок (5), (
8
) сходится с той же ско­
ростью, что и метод простой итерации с оптимальным параметром 
т. Справедлива
Т е о р е м а 1. 
Пусть А
— 
симметричная положительно опреде­
ленная матрица. Д ля погрешности метода минимальных невязок
выполняется оценка
\\А (хЛ
—
х)
|| 
\\А
(х
0
—х) ||, 
и = 0, 1, . . . ,
(9)
где
Ро
1
+
1
’
1
=
*min 
№
(Л)
(
10
)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим тождество (7). При задан­
ном векторе 
rh
правая часть этого тождества достигает минимума, 
если 
tft+i 
выбрать согласно 
( 8 ) .
При любом другом значении 
Tft+i 
правая часть тождества (7) может только увеличиться. Поэтому, 
полагая в (7) Tft+i = T0, где
(И)
U 
w
^ + w ^ ) *
получим неравенство
\\rk+A\2^ \ \ ( E - x 0A)rk\\*
и, следовательно,
[к,+
1
!|^ ]|£ -т о Л И
1
кЛ.
(
12
)
Согласно следствию 2 теоремы 1 из § 4 имеем 
этому при всех 
k
справедливо неравенство
Ц£—Т
0
Л|| 
= р о , ПО-
i k f t - i l l s S p o i k J ,
(13)
или, что то же самое, неравенство
IIЛ 
(xk+l
—
х)
|]Сро
1
|Л 
{xk—x)
II.
Отсюда и следует оценка (9).