А. А. Самарский, А. В. Гулин

В~'п ,
 
получим ссВ-
1
^ р Л -1.
4. Доказательство теоремы 1. Уравнение для погрешности 
vn =
= х п
—х имеет вид
a ""*1 - -
+ A v n =
 0, 
л = 0, 1........ 
(18)
т
и0 = х0—х,
откуда получим
ц
п+1
= 5
у
„, 
S = B—тВ_,Л.
100
(19)

---

Л е м м а 1. 
Пусть А и В
— 
симметричные положительно опре­
деленные матрицы и
р > 0 — 
число. Матричные неравенства
В
 <
A
sg 
В
 
(20)
т 
т
необходимы и достаточны для того, чтобы при любых v0<=H для
решения задачи
(18) 
выполнялась оценка
IIU n + il L C p Il f J U ,
п =
 0, 1, . . .
(21)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Оценку (21) можно записать в виде
II 
Wn+I
 || < pllojjl1, 
(
22
)
где 
wn = A l/2vn,
||и>п||=У(и>„, 
wn).
Из (19) получим, что функция 
wn
удовлетворяет уравнению
w„+t = Sw n,
 
(23)
где 
S = A i/2SA~i/2 = E
—тС, 
С = А 1/2В~'А,/2.
Для решения этого урав­
нения в силу симметричности матрицы 
S
имеем
||шп+1||2=
(5wn, Swn)
= (
S2w
n, 
wn).
Тем самым оценка (22) эквивалентна неравенству
3 2^ р 2Е
 
(24)
и остается доказать эквивалентность неравенств (20) и (24).
Согласно свойству 4) из п. 3, неравенство (24) эквивалентно 
двум матричным неравенствам
—
р Е ^ З ^ р Е
или
т 
т
Так как 
С = А 1/2В~’А ,/2
— симметричная положительно определен­
ная матрица, согласно свойству 
8
) из п. 3, в этих неравенствах 
можно перейти к обратным матрицам, т. е. записать, что
С
' 1
 <
Е
<
С~\
X 
X
Подставляя сюда выражение для С, получим
А~'
л
ВА~'
а
s c f s c
А~'ЛВА~'/г.
т 
т
Умножая последние неравенства слева и справа на 
А 1П
(см. свой­
ство 
6
) из п. 3), приходим к неравенствам (20). Лемма 1 доказана.
Л е м м а 2. 
При тех же условиях что и в лемме
1, 
неравенства
(
20
) 
необходимы и достаточны для выполнения оценки
II*V
h
II
b
<
p
II
i
' J
b
, 
я = 
0
, 
1
, ... 
(25)
101

---

Доказательство проводится почти так же, как и в лемме 1, 
только в качестве 
wn
надо взять вектор 
B l/2vn,
а в качестве 
С
— 
матрицу
Для доказательства теоремы 1 теперь достаточно заметить, 
что матричные неравенства (5) можно переписать в виде (20), где
- 5
i + i ’
Та 
Vi + Та
После этого замечания утверждение теоремы 1 следует из 
лемм 
1
и 
2
.
5. Оценка погрешности в случае несимметричной матрицы 
В.
Пусть задана любая симметричная положительно определенная 
матрица 
D.
Обозначим через S матрицу перехода итерационного 
метода (4), т. е. 
S = E
—
хВ~'А,
и через 
— погрешность метода, 
vn = xn
—
х.
Для исследования сходимости итерационных методов в 
случае несимметричных матриц 
А я В
может оказаться полезной 
следующая простая
Л е м м а 3. 
Если В~1 существует, то для выполнения оценок
H«n+illD
п =
0
,
1
, . . .
(26)
необходимо и достаточно выполнение матричного неравенства
р 
2D ^ S TDS.
(27)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Учитывая уравнение для погрешности 
(19), перепишем (26) в виде
(
DSv
n, 
Svn) ^ s p 2(Dvn, vn)
или
р
2(Dvn, vn) ^ ( S TDSvn, vn), 
n =
0, 1, ...
Так как 
va
произвольно, отсюда следует (27).
Обратно, если выполнено (27), то
|| 
Van
|]Ъ =
(Dvn+
1
, 
Van)
= (
S TDSv
n, 
vn)
< p
2
(Dun, vn) =
p21 
Vn
|
d
, 
t
. 
e. приходим к (26).
В следующей теореме сформулированы достаточные условия 
сходимости метода (4) в случае несимметричной матрицы 
В.
Т е о р е м а 2. 
Пусть А
— 
симметричная положительно опреде­
ленная матрица и В — невырожденная матрица. Если выполнено
матричное неравенство
В
— Ь Ё
— — A
 
5
s 
BTA~1B
 
(28)
2 
2 
2т
с константой
р е (
0
, 
1
), не зависящей от п, то итерационный