А. А. Самарский, А. В. Гулин

Канонической формой одношагового итерационного метода
ре­
шения системы (
1
) называется его запись в виде
Bn+i
*n+1
~~ 
+
Ахп
=
[, 
п = 0 , \ , . . . , п о.
(12)
Trt-Hl
84

---

Здесь 
Bn+i
— матрица, задающая тот или иной итерационный 
метод, Тя
+1
— итерационный параметр. Предполагается, что зада­
но начальное приближение 
х„
и что существуют матрицы В^1, 
/1
= 1, 2, . . . , п
0
—1. Тогда из уравнения (12) можно последователь­
но определить все 
хп, п=
1, 2, . . . , га0. Для нахождения 
хп+1
по из­
вестным / и 
х п
достаточно решить систему уравнений
Bn + 
1
-^n + l 
В л ,
где 
Fn=
(Bn+
1
—
Tn+lA )x n+ r n+lf.
Итерационный метод называют 
явным (неявным),
если 
Вп = Е
(Вп=А=Е),
где 
Е
— единичная матрица. Как правило, неявные ите­
рационные методы имеет смысл применять лишь в том случае, 
когда каждую матрицу 
Вп
обратить легче, чем исходную матри­
цу 
А
(т. е. когда решение системы уравнений с матрицей 
Вп
тре­
бует меньше машинной памяти или времени или алгоритмически 
проще, чем решение исходной системы). Например, в методе Зей- 
деля приходится обращать треугольную матрицу. В дальнейшем 
(см. § 4) будет показано, что преимуществом неявных методов яв­
ляется более быстрая сходимость.
Итерационный метод (
12
) называется 
стационарным,
если 
В
П+1
= В и тп+ , = т не зависят от номера итерации, и 
нестационар­
ным
— в противоположном случае.