А. А. Самарский, А. В. Гулин

и т. д.
§ 2. Исследование сходимости итерационных методов
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
Ax = f
(1)
с невырожденной действительной матрицей 
А
и одношаговый ста­
ционарный итерационный метод, записанный в каноническом виде
B x™ Z ± + A x a = f, 
п =  0 , 1 , . . . ,
(2)
где 
хй
задан.
Говорят, что итерационный метод (2) 
сходится,
если 
\\хп
—
х\\-+
->0 при /
1
->-оо. Под нормой вектора 
х
будем понимать сейчас сред­
неквадратичную норму
/ 
m 
\У*
\ Х
=
4 2
*/
\/=1
Решение 
х
системы (1) будем рассматривать как элемент 
m-мерного евклидова пространства 
Н
со скалярным произведе­
нием
Ш
(и,
о) =
2
UjVh
/=1
При формулировке условий сходимости будут использоваться 
матричные неравенства. Для действительной матрицы 
С
неравен­
ство 
С >
0 означает, что (
Сх,
х) > 0 для всех х е Я , 
хФО.
Из нера­
венства С > 0 следует, что существует константа б > 0 такая, что 
{Сх, х ) ^ 6 \\х \\2.
Действительно, если С > 0 — симметричная матрица, то все ее 
собственные значения положительны и в качестве б можно взять 
минимальное собственное значение. Если С > 0 — несимметричная 
матрица, то для любого х е Я , 
хФО
имеем
(Сх, x ) = j [{Сх, х)
+
(х, Сх)]
> 0,
где 
С' — матрица, транспонированная к 
С.
Поэтому в качестве б 
можно взять минимальное собственное значение матрицы 
С„ =
= 0,5(С+С*). Из оценки 
{Сх,
х ) ^ б ||х
||2
следует, что существует 
матрица С-1. Неравенство 
С ^ О
означает, что 
{Сх, х)
^ 0 для всех 
Если С ^О , то С
-1
может и не существовать.
86

---

Перейдем к исследованию сходимости итерационного метода
(2). 
Погрешность метода на п-й итерации
характеризуется векто­
ром zn = xn
—
х,
который согласно (
1
), (
2
) удовлетворяет однород­
ному уравнению
Б Zn+1~ 2n + A z n =
0
, 
п =
0
,
1
, . . . ,
г0 = х0
— 
х.
(3) 
т
Т е о р е м а 1. 
Пусть А
— 
симметричная положительно опреде­
ленная матрица,
т
> 0
и пусть выполнено неравенство
В—
0,5тЛ>0. 
(4)
Тогда итерационный метод
(2) 
сходится.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно показать, что среднеквадра­
тичная норма решения 
zn
уравнения (3) стремится к нулю при 
/г-voo и при любой начальной погрешности 
гй.
Покажем сначала, 
что при условии (4) числовая последовательность 
Jn= (Azn, z n)
является невозрастающей. Из уравнения (3) найдем
zn+l= ( E ~ x B - 'A ) z n, Azn+i = (А
—
xAB~'A)zn,
откуда получим
(Azn+i, zn+l)
= (
Azn
, 
2
П) 
т
(AB~iAzn, zn) —
—
t
(A
z
„,
5
~M
2
„ ) +
t
2
(AB~lAzn, AB~lAz
n). 
Вследствие симметричности матрицы 
А
имеем
(A B -lAzn, z„)
=
(Azn, B - ‘Azn),
поэтому
(Azn+i, z n+l) = (Azn, z n)— 2x{{B—Q,bxA)B-lAzn, B~lAzn).
(5) 
Отсюда, учитывая условие (4), получаем неравенство
(Azn+i,
zn+1) <
(Azn, z
n) .
Таким образом, числовая последовательность 
/„= (Az„, zn
) мо­
нотонна и ограничена снизу нулем. Следовательно, существует
lim 
Jn — J.
(
6
)
П —
*<х>
Далее, из положительной определенности матрицы 
В
—0,5тЛ 
следует существование константы 
6 > 0
такой, что
((В -0,5тЛ )В -М г„, 
B - lAzn) ^ b \ \ B - lAzn\\2.
Отсюда и из (5) получаем неравенство
/„ +i—/ „ +
2
бт||В_
1
Л
2
п||
2
^
0
.
Переходя в этом неравенстве к пределу при м->оо и учитывая (
6
), 
убеждаемся в том, что существует
Нш || 
wn
I =
0
,
п-*оо
где ш„ =
B~'Azn.
Наконец, замечая, что 
А
—-положительно опреде
87

---

ленная и, следовательно, обратимая матрица, получим
и тем самым
zn = A~lBwn,
||
2
Л < | И - ‘Я||||и»я|| 
lim [| 
zn
I =
0
.
Теорема 1 доказана.