А. А. Самарский, А. В. Гулин

лена, ее число обусловленности равно отношению максимального собственного
значения к минимальному, т. е.
МА
=
^•тах 
(А)
Vin 
(А)
Как известно (см. п. 4 § 4 ч. I), для данной матрицы
^Ш
1
п 
(А)
= ^ 7
sin2
2
■
л 
h
.(А) =  — cos2
№
nh
поэтому
М А =  ctg2
. л 
h
_ 4 ____ /_1_
: я
2
/г
2
° [
Л
2
Отсюда видно, что при малых 
h система (26) плохо обусловлена. Далее,
т =
0
(Л"
МА^ = 0 \ - ^
Поэтому правая часть равенства (24) оценивается 
как 0(2- ‘А- *). Для 
ТОГО
чтобы погрешность округления имела тот ж е порядок, что и погрешность раз­
ностного метода, 
достаточно 
потребовать 
2~‘h~3 =-=0( №) , т. е. 
h —0 ( 2~ЧЬ).
В частности, при 2- i = 1 0 -12 приходим к выводу о том, что нецелесообразно
брать шаг 
h меньше, чем 0,001, так как в противном случае накопление по­
грешностей округления может оказаться слишком велико.
81

---

Г Л А В А 2
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Примеры и канонический вид итерационных методов решения
систем линейных алгебраических уравнений
1. 
Итерационные методы Якоби и Зейделя. 
Перейдем к изуче­
нию итерационных методов решения систем линейных алгебраиче­
ских уравнений. Будем рассматривать систему
Ax = f,
(1)
где матрица Л = 1ау], i, / = 1, 
2
, 
m, имеет обратную, х =
= О,, х2, . . . , 
хт) т,
/ = (f4, f2, . . . , fm) T.
Рассмотрим сначала два примера итерационных методов. Для 
их построения предварительно преобразуем систему (
1
) к виду
X;