А. А. Самарский, А. В. Гулин

1(£ + с г , ' « Т г ш г
<1в)
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Для 
л ю б о г о в е к т о р а
х 
и м е е м
|| 
(Е+С)х\\ 
=
 ||*+С лсЦ
М - \ \ С х \ \  
^ | | х | | - | | С | | | | х | | = ( 1 - Ц С Ц )
IWI =
б ||* ||,
где 6 = 1 — ||С ||> 0 . Поэтому однородное уравнение 
{ Е + С ) х =  0 имеет только
нулевое решение: если (£ + С )х — 0, то 0 ^ о ||* Ц и * = 0. Поэтому в неравенстве
||{ Е + О Д |3 * б |Ш | 
(17)
м о ж е м о б о з н а ч и т ь
[ Е + С ) х = у , х = { Е + С ) ~ 1у  
и п е р е п и с а т ь ( 1 7 ) в в и д е l | i / l | ^
е
2
» б || ( £ + C ) - 1 i/||. О т с ю д а п о л у ч и м
II 
(Е + С)-1 у || < - у || 
—
II
У fl,
следовательно, выполнено (16).
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 1. Докажем, что существует мат­
рица, обратная матрице Л +
6
Л. Имеем
Д = Л+бЛ = Л (Д +Л ^бЛ ) = Л (Д + С ),
где С = Л_
1
бЛ. По условию (14) имеем
||С|| = ||Л-,6 Л |К ||Л -
1
|11|6Л||<1, 
(18)
поэтому согласно лемме 1 существует (Д-|-С)_1, а следовательно,
и 
А~*.
Нам осталось получить оценку (15). Представим 
8х = х
—х в 
виде 
bx = A .-'f—A -'f = A - 1
( / —/) + (Л-
1
—Л -1)/. Согласно (1) имеем 
f= A x,
поэтому
6х= (Ж-1А—E)x+A~'8f.
(19)
Дальнейшие выкладки связаны с оценками норм матриц 
А~1А
—
Е
и 
А~'.
Обозначим