А. А. Самарский, А. В. Гулин

Действительно, пусть 
iH-fclfcLi— ортонормированный базис собственных
векторов матрицы 
А и х е Я — любой вектор. Разлагая х по базису {ц*}, по­
лучим
т
т
* =
2
W k ’
в*ii2= 2
сь
4=1 
ft=i
и, 
далее,
я
а
а
*=
2
сл л с
и
Ах
'I2 = 2
$ х1
4=1 
4=1
Отсюда имеем
||Лх[|^р
2
(Д)||х|Р,
т. е. ||Д |К р ( / 4 ) . Сопоставляя это неравенство с (10), получаем (11).
Точно так же ||Л- '|| = р (Л-1) = | 
Хт1п
(Л) | -1, и, следовательно,
АА д —
| ^.тах H ) | / | W >
1
)|
(
12
)
для симметричной матрицы 
А
и среднеквадратичной нормы векто­
ра, 
IU||=yu, 
х).
Свойство 1° следует непосредственно из 2°, а свойство 3°— из 
аналогичного свойства матричных норм, ||Л В ||^||Л ||||В ||.
3. 
Полная оценка относительной погрешности. Предположим 
теперь, что в системе (
1
) возмущены как правая часть, так и коэф­
фициенты. Рассмотрим наряду с (1) возмущенную систему
A x = f
(13)
и обозначим 
8А = А
—
А, 8х = х
—
х
, б/ = / —
f.
Справедлива следующая теорема (см. [
6
]).
Т е о р е м а
1
. 
Пусть матрица А имеет обратную и пусть выпол­
нено условие
||М ||< ||Л - ‘||-‘. 
(14)
Тогда матрица А=А-{-8А имеет обратную и справедлива следую­
щая оценка относительной погрешности:
II б* II ^
МА 
( \ \ Щ
, |6Ж
П5)
11*11
( Ш )
IИ Л
1
/
1
/
Л и п /
При доказательстве будет использована
77

---

Л е м м а 1. 
Пусть С
— 
квадратная матрица, удовлетворяющая
условию
||С ||< 1
и Е
— 
единичная матрица. Тогда существует мат­
рица
(
Е-\-С)~\ причем