|
часть / и элементы
ац, i, j =
1,2, . . . , m, матрицы Л. Соответственно
различают
устойчивость по правой части
(когда возмущается толь
ко правая часть /, а матрица Л остается неизменной) и
коэффи
циентную устойчивость
(когда возмущается только матрица Л,
а правая часть
f
остается неизменной).
Чтобы можно было говорить о непрерывной зависимости, необ
ходимо ввести на множестве m-мерных векторов ту или иную мет
74
рику. Будем считать, что решение и правая часть задачи (1) при
надлежат линейному пространству
Н,
состоящему из т-мерных
векторов (вещественных или комплексных — безразлично). Введем
в
Н
норму ||-||; конкретный вид этой нормы сейчас не имеет значе
ния, важно лишь, чтобы выполнялись все аксиомы нормы:
||*||>0
для любого
О ф х ^ Н ,
||
0
| | =
0
;
||,ах|| = | се,| IU|| для любого числа
а
и любого х е Я ;
||х + (/|| ^
11*11
+ ||г/|| для любых
х, у ^ Н .
Нормой матрицы А, подчиненной данной норме вектора,
назы
вается число
|Л|| = sup 5 ^ !
о#*еН II-': ||
(
3
)
Из определений следует, что ||Лх|1^|[Л||||х!| для всех х е Я ,
||Л + Б |К ||Л || + ||£||, ||Л В |К ||Л ||||5 || для любых матриц Л,
В\
||£|| =
= 1, где
Е
— единичная матрица. Наряду с основной системой
уравнений (
1
) рассмотрим «возмущенную систему»
Ax = f ,
(4)
которая отличается от (1) правой частью. Будем предполагать
пока, что в матрицу Л возмущений не вносится. Нас интересует,
насколько сильно может измениться решение
х
в результате изме
нения правой части. Обозначим
Ьх— х—х,
б
f = f
—
f.
Говорят, что
система
(1)
устойчива по правой части,
если при
любых /,
f
справедлива оценка
ЦбхЦ^МЛб/11,
(5)
где ATt> 0 — постоянная, не зависящая от правых частей
f, f .
Оцен
ка (5) выражает факт непрерывной зависимости решения от пра
вой части, т. е. показывает, что ||6х||-»-0 при ||6/||-*-0. Наличие
устойчивости очень важно при численном решении систем уравне
ний, поскольку почти никогда нельзя задать правую часть
f
точно,
на самом деле вместо вектора
f
задается какой-то близкий ему
вектор
f .
Погрешность б
f — f
—
f
возникает, например, в результа
те погрешностей округления.
Легко показать, что если det Л
0, то система (1) устойчива по
правой части. Действительно, из (1) и (4) следует уравнение для
погрешности
Л (
6
х) = б /,
откуда получаем
б х = Л -
1
(б/),
11бх||^||Л-МП1б/||,
(
6
)
т. е. выполняется неравенство (5) с константой
М , = \\А-'\\.
Заме
тим, что чем ближе к нулю определитель матрицы Л, тем больше
постоянная
и, следовательно, тем сильнее погрешность правой
5
части может исказить искомое решение.
7 5 ,
2.
Число обусловленности. В оценку (5) входят
абсолютные по
грешности
решения
8 х = х —х
и правой части б
f = f
—/. При реше
нии системы (
1
) на ЭВМ с плавающей запятой более естественны
ми характеристиками являются
относительные погрешности
1
Щ
1
l&Ll
11/11
’
11*11
‘
Получим оценку, выражающую относительную погрешность ре
шения через относительную погрешность правой части. Для этого
используем неравенство
НЯКНЛ1111x11,
(7)
которое следует из (
1
). Перемножив (
6
) и (7),
оценке
придем к требуемой
т ^ м Ат ,
(
8
)
ii*ii
i/ii
где
М
а
= 1|Л-‘||||Л||.
(9)
Число
М А,
входящее в эту оценку, называется
числом обуслов
ленности матрицы А
и характеризует степень зависимости отно
сительной погрешности решения от относительной погрешности
правой части. Матрицы с большим числом обусловленности
М А
на
зываются
плохо обусловленными матрицами.
При численном ре
шении систем с плохо обусловленными матрицами возможно силь
ное накопление погрешностей.
Отметим следующие свойства числа обусловленности:
Г.
М А^ 1 .
2°.
MA^ \ X m^ ( A ) \ l \ k min(A)\,
где Хюа
1
(Л) и JwnmC^)—-соответственно наибольшее и наименьшее
по модулю собственные числа матрицы
А.
3°.
М АВ^ М АМВ.
Докажем свойство 2°. Число р(Л) = |Ятах(Л) | называется
спект
ральным радиусом матрицы А.
Покажем сначала, что для любой
нормы вектора подчиненная ей норма матрицы удовлетворяет не
равенству
р(Л)<||Л||.
(Ю)
Рассмотрим собственный вектор
у
матрицы
А,
отвечающий наи
большему по модулю собственному значению. Справедливо равен
ство
А у
7-тах ( Л )
У
,
из которого следует, что
1!Лу|| = | Vas (Л) | ||у||.
С другой стороны,
\\Ау\\
^ |]Л||||г/||, и, следовательно, ]
(Л) | ^
^ ;
11
Л||, т. е. получаем (
10
).
Поскольку ^ты(Л) является максимальным по модулю собст
венным значением матрицы Л~\ для него выполняется неравенство
|^,„(Л)|-1^||Л -1||.
76
Отсюда и из (10) следует свойство 2°. Заметим, что правая часть
неравенства
2
° не зависит от выбора нормы.
Существуют нормы и матрицы, для которых 2° выполняется со
знаком равенства. Пусть
Н
— вещественное пространство со ска
лярным произведением
(У,
о) = 2
УМ
_ _ _
t= i
и нормой
\\у\\=^(у, у).
Тогда н о р м а с и м м е т р и ч н о й м а т р и
цы
А
с о в п а д а е т с ее с п е к т р а л ь н ы м р а д и у с о м :
1
И|| = р(Л).
(
1 1
)
Do'stlaringiz bilan baham: |
