А. А. Самарский, А. В. Гулин

§ 3. Необходимое и достаточное условие сходимости
стационарных итерационных методов
1. 
Введение. 
Некоторые итерационные методы решения систем 
линейных алгебраических уравнений уже рассматривались в § 
1
,
2
. 
Напомним необходимые для дальнейшего сведения.
Пусть дана система уравнений
Ax = l
(1)
где Л =
1
ой], 
i,
/ =
1
, 
2
, . . . , m,— вещественная квадратная матрица, 
имеющая обратную, и 
х=
(х„ 
хг, . . .
, 
хт) Т,
/ =
(fl7
/2, . . . , 
fm) T.
Кано­
нической формой одношагового итерационного метода называется 
его запись в виде
Вп+1*п+1~ Хп + A x n=Lf,
л = 0 , 1 , . . . ,
(2)
Тп
+1
где 
п
— номер итерации, х
0
— заданное начальное приближение, 
хп=
(*i> 
. . . , Хт)Т■
Матрицы 
Вп+1
и числа т„+ ,> 0 задают 
тот
или иной конкретный итерационный метод.
В настоящем параграфе подробно рассматриваются стационар­
ные итерационные методы
в ~
------ b
Ахп
= /, 
(3)
т
90

---

в которых матрица 
В
и числовой параметр т не зависят от номера 
итерации 
п.
Погрешность итерационного метода (3) 
vn = xn
—
х,
где 
х
— точ­
ное решение системы (
1
), удовлетворяет уравнению
В —
------ + Л
у
„ = 0, 
п
= 0 , 1 , . . . ,
v0 = x0 — x,
(4)
т
которое отличается от уравнения (3) лишь тем, что является одно­
родным.
Сходимость итерационного метода (3) означает, что 
>-0 в не­
которой норме при 
п->-оо.
Переписывая уравнение (4) в разрешен­
ной относительно и
п+1
форме
vn+l = Svn,
(5)
где
S = E
—
хВ~‘А,
(
6
)
видим, что свойство сходимости итерационного метода целиком оп­
ределяется матрицей S. Необходимые и достаточные условия схо­
димости в терминах матрицы 5 приведены ниже в п. 3. Матрица S 
называется 
матрицей перехода от п-й итерации к
( я +
1
)-й.
2. 
Норма матрицы. При исследовании сходимости будем рас­
сматривать векторы 
хп
и 
х
как элементы m-мерного линейного про­
странства 
Н,
в котором введена норма ||х|| вектора 
х.
Нормой мат­
рицы 
А,
подчиненной данной норме вектора, называется число
II
А
1
= sup
хфа
Ах\
II* И
Норму вектора в пространстве 
Н
можно ввести различным обра­
зом. Нам прежде всего потребуется норма
II
X
||с = шах |ЛГ;|.
1
Подчиненная ей норма матрицы