А. А. Самарский, А. В. Гулин

i_1 
a- 
m 
a -- 
f-
■
—
У . ~
^
х , ~
V
- l L X l + ±
,
i = l , 2 , . . . .
п г
f i i аи 
аи 
* и
1=
И
-1
(
2
)
(при этом предполагается, что все ад отличны от нуля).
Условимся, как обычно, считать значение суммы равным нулю, 
если верхний предел суммирования меньше нижнего. Так, уравне­
ние (
2
) при /=
1
имеет вид
В дальнейшем верхний индекс будет указывать номер итерации, 
например
„
/
п 
п
 
rt 
\Т
X ■
— 
у
...» 
Хпг)
,
где 
х”—
п
-я итерация 
i-
й компоненты вектора 
х.
В 
методе Якоби
исходят из записи системы в виде (2), причем 
итерации определяются следующим образом:
л=0, 1, . . . , я0, 
1
=
1
,
2
, . . . , т.
Начальные значения х“, t = l , 2, . . . , т задаются произвольно. 
Окончание итераций определяется либо заданием максимального 
числа итераций 
па,
либо условием
шах | 
х
— х" | < е,
где е > 0 — заданное число. Позже в § 2 будет показано, что при 
определенных условиях на матрицу 
А
метод Якоби сходится, т. е. 
||х"—х
||->-0
при л->оо (здесь х — точное решение системы (
1
), 
а 
хп
— приближенное решение, полученное на 
п
-й итерации).
82

---

И т е р а ц и о н н ы й м е т о д З е й д е л я  и м е е т в и д
r
?+1
= •
. v
JL хпы
 _
у J L xn + l L
^ а„ 
1 
. 4 1 
а,, 
' 
а,-,
i=
1
/ =4-1
i =
1
, 
2
, . . . ,
m, п = 0,
1
, . . . , п0-
( 4 )
Чтобы понять, как находятся отсюда значения х?+1, г = 1, 2, . . .
. . . , т , запишем подробнее первые два уравнения системы (4):
Первая компонента 
х"т1
вектора 
xn+l
находится из уравнения 
(5) явным образом, для ее вычисления нужно знать вектор 
хп
и 
значение /у. При нахождении 
х"+1
из уравнения (
6
) используются 
только что найденное значение 
х"+1
и известные значения 
хf,
/ = 3, . . . ,
пг,
с предыдущей итерации. Таким образом, компоненты 
je
?+1
вектора 
xn+i
находятся из уравнения (4) последовательно, на­
чиная с i = l .
2. 
Матричная запись методов Якоби и Зейделя. Для исследова­
ния сходимости итерационных методов удобнее записывать их не в 
координатной, а в матричной форме. Представим матрицу 
А
си­
стемы (
1
) в виде суммы трех матриц
A = A l-\-D-\-A1,
(7)
где D = d ia g la u, a22, 
a
mm] — диагональная матрица с той же 
главной диагональю, что и матрица 
А,
матрица 
А,
— нижняя тре­
угольная и матрица 
Аг
— верхняя треугольная с нулевыми главны­
ми диагоналями.