А. А. Самарский, А. В. Гулин

З а м е ч а н и е 1. Если для погрешности какого-либо итерационного метода
выполняется неравенство
|*
а
— 
х.\
< М
к
7
а
|
л
:
о
—
х
,\,
где 
q e ( 0 ,  
1
) и 
не зависит от 
6
, то говорят, что метод сходится линейно со
скоростью геометрической прогрессии со знаменателем 
q. Такая терминология
объясняется тем, что при 
6
-»-оо погрешность убывает как 
qh.
З а м е ч а н и е 2. Зафиксируем в неравенстве 
(9) 
индекс 
k и устремим р
к бесконечности. Тогда получим оценку погрешности
qk
I 
хк
— 
1 sg ■
t _
| 
s
(*o) — 
x0
1, 
6 = 1 , 2 , . . ,
(11)
В правую часть оценки (11) входят только известные величины, в то время
как оценка (7) содержит заранее неизвестное значение 
х..
Приведем следствия из теоремы 1, содержащие более удобные 
для проверки условия сходимости.
Будем предполагать, что s(x) непрерывно дифференцируема на 
отрезке 
UT(a).
С л е д с т в и е 1. 
Если
\ s ' ( x ) \ ^ q < l
(12)
для
х е Д ( а ) ,
выполнено условие
(6) 
и
х0е Д ( а ) ,
то уравнение
(2) 
имеет единственное решение
х ,е £ /г(а), 
метод
(3) 
сходится и спра­
ведлива оценка
(7).
Действительно, из (12) следует (4) с ^ е ( 0, 1).
197

---

С л е д с т в и е 2. 
Пусть уравнение
(2) 
имеет решение х,, функ­
ция s(x) непрерывно дифференцируема на отрезке
11т{х,)={х\ \х—
а
- , | ^
г
} 
(13)
и
|s'(x.) | <1. 
Тогда существует
е > 0
такое
, 
что на отрезке Ut (x,)
уравнение
(2) 
не имеет других решений и метод
(3) 
сходится, если
ТОЛЬКО
А
'„1
=.Ut {x,).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку 
s(x)
непрерывно дифференци­
руема на отрезке 
Ur(x.)
и |s'(x .) | < 1, найдутся числа д е ( 0, 1) и 
е е (0, г] такие, что
\s'(x)
| ==S<
7 < 1
для всех х 'е [ /((х,).
2. Метод Эйткена ускорения сходимости. Предположим, что ка­
кой-либо итерационный метод имеет линейную сходимость, т. е.
xk—x , ^ a q \ q<=(
0, 1),
k = l , 2 , . . .
Числа 
a, q, х,
заранее неизвестны, но их можно найти, используя 
три последовательных итерации 
хк, хк+1, хк+г.
Составим уравнения
xh—x, 
= aq\ хкы— х:, = aqk+i, xM — x, = aqh+i
(здесь равенства надо понимать как приближенные), 
найдем
Axk = Xkn— *k — aqk (q—
1), 
А2хк
= Ax*+1 — 
Axk — aqh (q —
l)2,
из которых
(14)
Метод Эйткена ускорения сходимости
состоит в том, что после 
вычисления 
xh, xh+l, хк+г
производится пересчет по формуле
У к
 и —
%k+2
( W > 2
ЛЧ
(15)
и значение 
ук+,
принимается 
за
новое приближение. Если бы равен­
ство (14) выполнялось точно, то 
ук^,
совпало бы с точным решением 
х..
В общем случае 
ук+1
дает лучшее приближение к 
х.,
чем очеред­
ная итерация 
хк+г.
Подчеркнем, что главным предположением здесь 
является требование линейной сходимости основного итерационного 
метода. В случае методов, имеющих более высокую скорость схо­
димости (например метода Ньютона), ускорение по Эйткену в фор­
ме (15) неэффективно.
На практике не обязательно проводить пересчет по формуле
(15) на каждой итерации 
к.
Употребительны методы, в которых та­
кой пересчет осуществляется циклически, т. е. через определенное 
число основных итераций.
С помощью метода Эйткена на основе известных итерационных 
методов можно получить иногда новые итерационные методы, об-
198

---

ладающие более высокой сходимостью. Рассмотрим, например, ме­
тод релаксации
+ f (Хк) = о
(16)
т
(см. (6) из § 1), который имеет линейную сходимость, если 
M , > f ' ( x )
> 0 , 
0< т < 2 /М „
Предположим, что при некотором 
k
получены значения 
xk, хк+,
Вычислим согласно (15) величину
_„ 
(хь
Укк1 ■
— ^£+2
Хк+
2
- w
2
+ xk
%h+2‘
(17)
и исключим из (17) с помощью (16) величины 
хк+1, хк+2.
Имеем 
хк+1
=
X k
— т 
f 
( X k ) ,