А. А. Самарский, А. В. Гулин



Download 18,25 Mb.
Pdf ko'rish
bet126/257
Sana19.04.2022
Hajmi18,25 Mb.
#562450
1   ...   122   123   124   125   126   127   128   129   ...   257
Bog'liq
А. А. Самарский, А. В. Гулин


разделенные разности первого и второго порядков соответственно.
Сделаем следующее замечание. Перечисленные выше итераци­
онные методы в случае сходимости позволяют при заданных на­
чальных приближениях найти лишь один из корней уравнения (1). 
Чтобы отыскать другие корни, надо менять начальные приближе­
ния. Может оказаться, что и при других начальных данных метод 
сходится к тому же корню 
х = х,.
Тогда целесообразно отделить этот 
корень, т. е. применить итерационный метод к 
g(x) = f ( x ) / ( x

х .) .
§ 2. Сходимость метода простой итерации
1. Теорема о сходимости. 
Перепишем уравнение
f ( * ) = 0 
(1)
в эквивалентном виде
x = s(x) 
(2)
и рассмотрим метод простой итерации
xk+l = s(xk),
 
й = 0, 1, . . . , *„ задан. 
(3)
Говорят, что итерационный метод 
сходится,
если последователь­
ность 
{хк)
имеет предел при 
k-^oo.
В следующей теореме формулируются условия на функцию 
s(x), 
гарантирующие существование и единственность решения 
уравнения (2) и сходимость метода простой итерации к этому ре­
шению. Напомним, что функция s(x) называется липшиц-непре- 
рывиой с постоянной 
q
на множестве 
X,
если для всех 
х
' , 
x
"
g
X вы­
полняется неравенство
] s ( x ' ) —
s { x " ) \ ^ q \ x ' —х"\.
( 4 )
В дальнейшем в качестве 
X
будем брать отрезок
Ur(a)={x: \х—
д|==Сг} 
(5)
длины 2
г
с серединой в точке 
а.
7
*
195


Т е о р е м а 1. 
Если s(х) липшиц-непрерывна с постоянной q
е
е ( 0 , 1) 
на отрезке UT(a), причем
\ s(a)—a \ s ^ ( l — q)r,
(6)
то уравнение
(2) 
имеет на отрезке Ur(a) единственное решение х

и метод простой итерации
(3) 
сходится к х, при любом начальном
приближении x0^ U r(a). Дл я погрешности справедлива оценка
\ х — х . \ s^q k\x0—х.\,
£ = 0 , 1 , 2 , . . .
(7)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Сначала докажем по индукции, что 
е
UT(a
), 
k —
1, 2, . . . , т. е. что метод простой итерации не выводит 
за пределы того множества, на котором s(x) липшиц-непрерывна с 
постоянной / ^ 0 , и докажем, что тогда 
xj+l^ U T(a
) . Из равенства
xj+l

a = s(Xj)— а = (s(Xj)

s(a))
+ (
s(a
) —
a)
получим
I X j+ l
—a

I s 
( X j ) —
 
s (a)
| + | 

(a) — a 
\
.
Учитывая условие липшиц-непрерывности, предположение индук­
ции и условие (6), имеем
| s 
(Xj) — s ( a ) \ ^ q \ x j — a \ ^ q r ,

Xj+1 — a \ ^ q r + { \ — q ) r ^ r ,
т. e. 
xj+i^ U r{a).
Оценим теперь разность двух соседних итераций xj+1—
х,.
Имеем
и поскольку все точки 
хи j=
1, 2, . . . , находятся на отрезке 
Ur(a),
получаем оценку
|хж —
Xj\ s^q\Xj—
jCj-iI
и,следовательно,
|Х;+1—^ | 
^ q s\ x —
х0|, 
/ = 1 , 2 , . . .
(8)
Оценка (8) позволяет доказать фундаментальность последова­
тельности {xj. Действительно, пусть 
р
— любое натуральное число. 
Тогда
р
X k + p
X k
= 2 (Xft+j 
Х / ц - j - i ) ,  
i
=i
и согласно (8) имеем
\Xk+p—
X tK I * ! — 
x
0\Y g-t+M — g* L z i ! |X! — X0| ^ —
I xi — x0\,
i L
Х~ Ц 
X~ q
t
. e.
|x*+p —
| Xi — x0|, 
k, p — 1,2,
. . .
(9)
196


Поскольку правая часть неравенства (9) стремится к нулю при 
k-*-oo
и не зависит от 
р,
последовательность {xj является фунда­
ментальной. Следовательно, существует
lim 
Xk =
х. е
Uг (а).
/г—
юо
Переходя в (3) к пределу при 
k->-oo
и учитывая непрерывность 
функции 
s(x),
получим x, = s (х.), т. е. х. — решение уравнения (2), 
Предположим, что х / — какое-то решение уравнения (2), при­
надлежащее отрезку 
Ur(a).
Тогда
X, —
* '= s(x „ ) — 
s{x)
и по условию теоремы
\x. — x ' J ^ q \ x , — xJ.
Так как 
q <\ ,
последнее неравенство может выполняться лишь при 
х / = х„ т. е. решение единственно.
Докажем оценку погрешности (7). Из уравнения (3) получим
**+
1

= S (х„) —X, = s (хЛ) —s 

.) ,
и так как 
хк, 
х ,е £ /г(а), приходим к неравенству
К -и —
х.\ s ^ q \ x h—
х ,|, 
(10)
справедливому для всех 
k = 0,
1, . . . , из которого и следует оценка 
(7). Теорема 1 доказана.

Download 18,25 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   122   123   124   125   126   127   128   129   ...   257




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish