А. А. Самарский, А. В. Гулин

190

---

т о
положительные корни 
}(х) не превосходят числа с. Действительно, из фор­
м у л ы
Тейлора
/
(X) = / (с) + ( х - с ) Г (с) + (* ~ С)2 г  ( * ) + • ■ ■ +
!{т) W
получаем, что 
/ ( * ) > 0
при 
х ^ с .
Численные методы решения нелинейных уравнений являются, 
как правило, итерационными методами, которые предполагают за­
дание достаточно близких к искомому решению начальных данных.
Прежде чем переходить к изложению конкретных итерацион­
ных методов, отметим два простых приема отделения действитель­
ных корней уравнения (1). Предположим, что 
f(x)
определена и 
непрерывна на 
[а, Ь].
Первый прием состоит в том, что вычисляется таблица значе­
ний функции 
f(x)
в заданных точках 
xh^ [ a , b], k = Q,
1, . . . , 
п.
Если 
обнаружится, что при некотором 
k
числа 
f (xh), f (x h+t)
имеют раз­
ные знаки, то это будет означать, что на интервале 
(хк,
лг*+1) урав­
нение (1) имеет по крайней мере один действительный корень (точ­
нее, имеет нечетное число корней на 
{хк,
х*+1)). Затем можно раз­
бить интервал 
(xh, xh+l)
на более мелкие интервалы и с помощью 
аналогичной процедуры уточнить расположение корня.
Более регулярным способом отделения действительных корней 
является 
метод бисещии (деления пополам).
Предположим, что на 
(а, 
Ь)
расположен лишь один корень 
х,
уравнения (1). Тогда 
f(a)
и 
f(b)
имеют различные знаки. Пусть для определенности f ( a ) >
> 0 , 
f(b)
<0. Положим х0 = 0,5
(а + b)
и вычислим 
f ( x0).
Если 
f ( x0) <
< 0 , то искомый корень находится на интервале 
(а, х0),
если же 
f ( xa) >
0, то х ,е ( х 0, 
Ь).
Далее, из двух интервалов (о, х0) и (х0, 
Ь)
выбираем тот, на границах которого функция 
}(х)
имеет различ­
ные знаки, находим точку х ,— середину выбранного интервала, вы­
числяем 
f(x,)
и повторяем указанный процесс. В результате полу­
чаем последовательность интервалов, содержащих искомый корень 
х,,
причем длина каждого последующего интервала вдвое меньше, 
чем предыдущего. Процесс заканчивается, когда длина вновь полу­
ченного интервала станет меньше заданного числа е> 0 , и в качест­
ве корня 
х,
приближенно принимается середина этого интервала.
Заметим, что если на 
(а, Ь)
имеется несколько корней, то ука­
занный процесс сойдется к одному из корней, но заранее неизвест­
но, к какому именно. Можно использовать прием выделения кор­
ней: если корень 
х = х.
кратности m найден, то рассматривается 
функция
g{x)
= /(х )/(х —x.)m