А. А. Самарский, А. В. Гулин

и
способы решения некорректных задач изложены в книге [38].
2. 
Применение интерполирования. 
Многие формулы численного 
дифференцирования можно получить как следствие интерполяцион­
ных формул. Для этого достаточно заменить функцию 
и(х)
ее ин­
терполяционным многочленом 
Ln(x)
и вычислить производные мно­
гочлена 
Ln(x),
используя его явное представление. В отличие от 
п. 1 
рассмотрим неравномерную сетку
шЛ = {а = х0< х ,< х
2< . . , < x N = b}
и обозначим через А.; =
Х ;
—
Х ;_ ,, 
i=
1, 2, . . . ,
N,
шаги этой сетки. 
В качестве примера получим формулы численного дифференциро­
вания, основанные на использовании многочлена Лагранжа L2i(x), 
построенного для функции 
и(х)
по трем точкам х,-,, х,-, xi+1. Много­
член L2i(x) имеет вид
L2,i
(х) =
(X — хс) (х — 
х£+1) 
(X — Xi_x) (х — xi+1) 
(*— *м ) 
( x - x t)
=
-----------------------------------
Ui
—1 —
1 
--- ----
Ui
“Т "--------------------------
lli+
1»
hi 
+
hi+l) 
hchl+l 
hi+1 (ht + hi+1)
(7)
Отсюда получим 
Ll.i
(*) ==:
(2x 
x^ • X[+1) 
(2x 
x i+i) " 
, 
{^x 
xi—i 
x d
= -----------------
Hi-л
-------------------------
Hi
“p ■
' ---------
Ui+1
•
hi {hi + hi+1) 
h,A
t-+1
 
hi+1 (hi 
Ai+1)
Это выражение можно принять за приближенное значение 
и'(х)
в любой точке х е [ х ;_ь xi+1]. Его удобнее записать в виде
U.t (х) — —
( X — Xt-y,)-
hi+\
+ (x1-+1/l — х) —
h,
(
8
)
где 
hi=0,5{hi + h
i+l) , xi-vJ = x1—0,5
ht.
В частности, при х = х, получим
hj 
u i
+1 
u i
. 
hj+1 
u ; 
lli- L 
\
hi 
h
c + 1
 
hc 
At 
J ’
(9)
и если сетка равномерна, 
hi+i = ht = h,
то приходим к центральной 
разностной производной, L2ii 
(х$ = и°..
188

---

При использовании интерполяционного многочлена первой сте­
пени точно таким же образом можно получить односторонние раз­
ностные производные 
и-
£ и 
ихл.
Далее, вычисляя вторую производную многочлена 
L2i(x),
полу­
чим приближенное выражение для 
и"{х)
при xe[x;_i, xi+i]:
и"(х)
Lt.i
(*) = —
%
h,-
(
10
>
На равномерной сетке это выражение совпадает со второй разност­
ной производной 
и-х г
Ясно, что для приближенного вычисления 
дальнейших производных уже недостаточно многочлена 
L2i(x),
надо привлекать многочлены более высокого порядка и тем самым 
увеличивать число узлов, участвующих в аппроксимации.
Порядок погрешности аппроксимации зависит как от порядка 
интерполяционного многочлена, так и от расположения узлов ин­
терполирования. Получим выражение для погрешности аппроксима­
ции, возникающей при замене 
и'(х)
выражением 
Ь'2Л(х).
Будем 
считать, что х е [х ,_ ,, jci+1] и что величины 
hh hiJri
имеют один и тот 
же порядок малости при измельчении сетки. По формуле Тейлора 
в предположении ограниченности 
ulv (х)
получим
Ui+k = и (х) +
(
xi+k
— 
х) и'
(х) +
+
■(Xi+k
~ Х)2 
и
" (х) +
(Xi+k
~
x)i и"'
(
X) + о (h4)r
2 
б
где 
k = 0,
± 1, 
h = max{hu hi+l}.
Отсюда приходим к следующим раз­
ложениям разностных отношений:
—■