А. А. Самарский, А. В. Гулин

лю бом у многочлену степени п— 1.
Т е о р е м а 2. 
Если
со(х) — 
многочлен степени п, ортогональный
на
[я, 
b] с весом
р ( х ) > 0
любому многочлену степени меньше п, то
все его корни различны и расположены на [а, Ь].
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим, что многочлен со(х) имеет 
г п ^О
различных корней нечетной кратности на [я, 
Ь].
Очевидно,
183

---

что 
т ^ п .
Теорема 2 будет доказана, если покажем, что 
т = п.
Обо­
значая эти корни через | ь | 2, . . . , | т, представим 
ю(х) в
виде
и 
(х) = (х —
У “‘ 
(х
— У “2. . .
(х —
£m)“m 
г (х),
где 
а и а2,
. • •, 
ой
— нечетные числа и функция 
г(х)
не меняет знак 
на 
[а, Ь].
Вычислим интеграл
ь
I
= ^ р 
(х)
со (х) (х — у . . .
(х — lm) dx
=
а
=
J p ( * ) ( j e -
У “‘+1 • • • 
(X
- U “m+1 Г 
(X) 
dx.
(11)
о
Поскольку cti+1, . . . ,
ат+
1 четные числа и 
г(х)
знакопостоянна 
на La, 
b],
интеграл (11) отличен от нуля. С другой стороны, если 
т <п ,
то
q(x)
= (*—£,) 
(х
—Ы • • - 
(х— 1т)
— многочлен степени меньше 
п
и по условию теоремы имеем 
1 = 0.
Следовательно, 
т = п,
что и доказывает теорему 2.
Из теорем 1 и 2 следует, что для любого 
п
существует, притом 
единственная, квадратурная формула, точная для любого много­
члена степени 2
п
— 1.
4. 
Свойства квадратурных формул Гаусса. 
Нетрудно показать, 
что 2
п
— 1 — наивысшая точность формулы Гаусса, т. е. что сущест­
вует многочлен степени 2
п,
для которого эта формула не является 
точной. Действительно, для многочлена (3) имеем
ь
^ р 
(х)
со2 (х) dx > 0,
а
НО
2 CfeOJ2 
(хк)
= 0.
k
=1
Докажем теперь, что при любом 
п
коэффициенты 
ск
формул Га­
усса положительны. Рассмотрим многочлены 
! 
ш 
(х) 
Л
ф‘‘ М = ( 
(X —
Х,.)«в' (*,) 
) ’
1 = 1 , 2
имеющие степень 2
п
—2 и обладающие свойством
ф.(*ь) = бй.
Так как для этих многочленов формула Гаусса точна, справед­
ливы равенства
ь
П
^ р (х) <р
I (х) dx = '2s 
скЩ {Xk)
a
fe=l
= Cl,
откуда и следует, что с\>0, с = 1, 2 , . . . ,
п.
184

---

В п. 4 § 2 отмечалось, что свойство положительности коэффици­
ентов чрезвычайно важно для устойчивости вычислений и позволя­
ет использовать формулы с большим числом узлов 
п.
На практике 
применяются формулы Гаусса с числом узлов до 100.
Для погрешности формул Гаусса справедливо представление
h
!>»(/) -
~ ~
f Р М « 2 (*) Г ’ (?) 
dx,
(12)
(4я)! J
а
где £е=(а, 
Ъ).
Не приводя доказательства (см. [16, т. 1, с. 248]), отметим лишь, 
что оно основано на использовании интерполяционного многочле­
на Эрмита 
Н (х)
с двукратными узлами
H( xh) = f ( x k), H'(xk) = f ' ( x h),