А. А. Самарский, А. В. Гулин

|№)<ч=/(-Йг)+/(?т)'
“1
которая точна для любого алгебраического многочлена третьей 
степени.
2. 
Основная теорема. Возвращаясь к рассмотрению квадратур­
ных формул (!) общего вида, введем многочлен
и 
(х)
=
(х—х ^ (х—х2) . . . (х—х
п) . 
(3)
Будем предполагать, что р(х) >0.
Т е о р е м а 1. 
Квадратурная формула
(1) 
точна для любого
многочлена степени т = 2п
—1 
тогда и только тогда, когда выполне­
ны два условия
:
1) 
многочлен
ш(х) 
ортогонален с весом
р(х) 
любому многочле­
ну q(x) степени меньше п, т. е.
ь
J р(х) ш 
(х) q(x) dx —
0; 
(4)
а
2) 
формула
(1) 
является квадратурной формулой интерполяци­
онного типа, т. е.
ь
c * = f p ( * ) - -----М.(Х), . . 
dx,
6 = 1 , 2 ........
п.
(5)
J 
( X 
— 
Xk )
со' 
( x k )
а
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть формула
(1) точна для любого многочлена степени 
т = 2п
—1. Это значит,
181

---

что она точна и для многочлена 
a>(x)q(x),
имеющего степень не 
выше 2н—1, т. е.
Ь 
п
^ р 
(х)
со (х) 
q (х) dx
= 2 cAco (х*) 
q (хк) =
0.
a 
fe=i
Требование (5) выполняется в силу теоремы 1 из § 2 (если ква­
дратурная формула (1) точна для любого многочлена степени 
п
— 1, 
то она является формулой интерполяционного типа).
Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть 
f ( x )
— любой многочлен степени 
2
п
—I. Согласно теореме о делении многочленов, его можно пред­
ставить в виде
f(x)
=со 
(x)q{x)+r(x),
где 
q(x)
и 
г(х)
— многочлены, имеющие степень не выше 
п
—1. При 
этом
b 
b 
ь 
ь
р (х) /
(х) dx = ^
р 
(х)
со (х) q (х) dx -j- ^ р 
(х) г
(х) 
dx
= j Р (х) 
r
(х) 
dx.
а 
а 
а 
а
Последнее равенство справедливо в силу предположения (4). 
Далее, поскольку 
г ( х )
— многочлен степени не выше 
п
—1 и фор­
мула (1) является формулой интерполяционного типа, она точна 
для 
г(х),
т. е.
Ь 
п
п
п
^ р (х) г (х) dx — 2 с*г (**) = 2 Ск ^  ^
“ (**) Я (Л'0) = 2 Cfj
a 
k = \
k = i
k = i
Таким образом,
Ь 
п
^ р 
(х) f (х) dx =
2
Ckf (хк),
a 
k = i
т. е. формула (1) точна для любого многочлена степени 2п— 1. Тео 
рема 1 доказана.
Отметим, что использование теоремы 1 существенно упрощает 
построение формул Гаусса.
Условие (4) эквивалентно требованиям 
ь
j р (х) со (х) 
xadx
= 0, 
а = 0, 1, 
. . . , п
— 1, 
(6)
а
которые представляют собой систему 
п
уравнений относительно 
п
неизвестных 
х и хг,
. . . , х„. Таким образом, для построения формул 
Гаусса достаточно найти узлы 
х,,
х2, . . . , х„ из соотношений орто­
гональности (6) и затем вычислить коэффициенты 
ск
согласно (5).
Теорема 1 не гарантирует существования и единственности ре­
шения системы (6). Надо доказать еще существование и единствен­
ность многочлена со (х) степени 
п,
ортогонального всем многочленам 
степени меньшей 
п,
а также убедиться в том, что все корни такого 
многочлена расположены на отрезке 
[а, Ь].
182

---

3.