А. А. Самарский, А. В. Гулин

 
f — f p (а + /А)' (l ~ 11 •" ~ ">
- Д ■ 
(21)
k\ (п
 — 
k)\ \ п
 
J 
t — k 
\
' о 
'
Отметим, что формулы Ньютона — Котеса с 
редко ис­
пользуются из-за их численной неустойчивости, приводящей к рез­
кому возрастанию вычислительной погрешности. Причиной такой 
неустойчивости является то, что коэффициенты формул Ньютона — 
Котеса при больших 
п
имеют различные знаки, а именно при 
п ^
5; 10, р(х) = 1 существуют как положительные, так и отрицатель­
ные коэффициенты.
Остановимся подробнее на значении знакопостоянства коэффи­
циентов для устойчивости вычислений.
Рассмотрим квадратурную сумму
/„ = 2 <*/(**)• 
(22)
k=0
178

---

Предположим, что значения функции 
f(x)
вычисляются с некото­
рой погрешностью, т. е. вместо точного значения получаем прибли­
женное значение 
f (xh) = f (x h) + 8 h.
Тогда вместо /„ получим сумму
/л '•= ^
Ск
(/ (-*■'<) Ф" 8*) — 
+ б/„,
к=о
где
б 
и
= 2
 
(23>
й=о
Поскольку квадратурная формула (2), (4) точна для /(*)== I, 
имеем
п 
Ь
2
Ck
= ^ р (х) 
dx,
k=Q 
а
т. е. при р ( х ) > 0 сумма
= М 
(24)
к=0
ограничена числом Л4>0, не зависящим от 
п.
Предположим теперь, что все коэффициенты 
ch
неотрицательны. 
Тогда из (23), (24) получим оценку
| 8 / „ | < 2 |с*| | б * [ = 2 с*|б*|^(гпах (6
й
1)М, 
(25>
^ 
, 
о 

k=0 
k~0
которая означает, что при больших 
п
погрешность в вычислении 
квадратурной суммы (22) имеет тот же порядок, что и погрешность 
в вычислении функции. В этом случае говорят, что сумма (22) вы­
числяется устойчиво.
Если коэффициенты