,f(x).
Во-вторых, можно попытаться выбрать узлы квадратурной
формулы так, чтобы полученная формула имела большую точность,
чем формула Ньютона — Котеса с тем же числом узлов. В следую
щем параграфе рассматривается один из методов, основанных на
.выборе
узлов квадратурной формулы, а именно метод Гаусса. Он
приводит к квадратурным формулам с положительными коэффи
циентами при любых
п
и существенно более точным, нежели форму
лы Ньютона — Котеса.
§ 3. Метод Гаусса вычисления определенных интегралов
Т. Постановка задачи. В предыдущем параграфе предполага
лось, что узлы квадратурных формул заданы заранее. Было пока
зано, что если использовать
п
узлов интерполяции, то получим ква
дратурные формулы, точные для алгебраических многочленов сте
пени
п
—1. Оказывается, что за счет
выбора узлов можно получить
■квадратурные формулы, которые будут точными и для многочленов
степени выше
п
—1. Рассмотрим следующую задачу: построить ква
дратурную формулу
Ь
п
$Р
( x ) f ( x ) d x ^ ' 2 } ckf ( x k),
(I)
a
k = i
которая при заданном
п
была бы точна для алгебраического много
члена возможно большей степени. Обратим внимание, что здесь в
отличие от § 2 для удобства изложения нумерация узлов начинает
ся с
k =
1.
В настоящем
параграфе будет показано, что такие квадратур
ные формулы существуют. Они называются
квадратурными форму
лами наивысшей алгебраической степени точности
или
формулами
Гаусса.
Эти формулы точны для любого алгебраического многочле
на степени 2
п
— 1.
Итак, потребуем, чтобы квадратурная формула (1) была точна
для любого алгебраического многочлена степени
ш.
Это эквива
лентно требованию, чтобы формула
была точна для функций
f(x)
=
= х а, а = 0,
ш.
Отсюда получаем условия
п
Ь
^ CkX%= \.р{х) х?йх,
сс = 0, 1, . . . ,
т,
(2)
k = i
а
которые представляют собой нелинейную систему
т+
I уравнений
-относительно 2
п
неизвестных
Ci, С2, . . . ,
С п ,
Х 1 ,
Х 2, . . . ,
Х п .
Для того чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных,
.надо потребовать
т = 2п
— 1. В
дальнейшем будет показано, что си
стема (2) при
т = 2п
— I имеет единственное решение. Однако сна
чала рассмотрим несколько частных случаев, когда решение систе
мы (2) можно найти непосредственно.
180
Пусть p(jt) == 1,
а=
—1,
b —
1. При
п=
1 получаем
т =
1 и систе
ма (2) принимает вид
1
1
Ci —
^
dx =
2,
CiXi
= j
х dx
= О,
-1
-1
т. е. приходим к известной формуле прямоугольников
j /(*)< **-2/(0),
-I
которая точна для любого многочлена первой степени.
При
п =
2, т = 3 система (2) записывается в виде
^1 + ^2= 2,
^2^2 = О»
“Ь ^2^2 :==
~ ~ I C i X i
С $ Х
2 = 0 .
о
Отсюда
находим
1
1
1
Сг -
-- Со -- 1 у Xi --
~г~—
~ у Хп
-- --у
1
2
1
УЗ
УЗ
т. е. получаем квадратурную формулу
Do'stlaringiz bilan baham: