А. А. Самарский, А. В. Гулин


ск имеют различные знаки, то может ока­ заться, что сумма 2 1 * 1



Download 18,25 Mb.
Pdf ko'rish
bet114/257
Sana19.04.2022
Hajmi18,25 Mb.
#562450
1   ...   110   111   112   113   114   115   116   117   ...   257
Bog'liq
А. А. Самарский, А. В. Гулин

ск
имеют различные знаки, то может ока­
заться, что сумма
2 1 * 1
к=о
не является равномерно ограниченной по 
п
и, следовательно, по­
грешность в вычислении /„ неограниченно возрастает с ростом 
п.
В этом случае вычисления по формуле (22) будут неустойчивы и 
пользоваться такой формулой при больших 
п
нельзя.
Таким образом, если необходимо сосчитать интеграл (1) более 
точно, то имеются две возможности. Во-первых, можно разбить весь 
отрезок 
\а, Ь]
на несколько частичных отрезков и на каждом из 
частичных Отрезков 
применить формулу Ньютона -— Котеса с не­
большим числом узлов. Полученные таким образом формулы назы­
ваются 
составными квадратурными формулами.
Они часто приме­
няются на практике, хотя и не являются достаточно экономичными
поскольку требуют многократного вычисления значений функции
179


,f(x).
Во-вторых, можно попытаться выбрать узлы квадратурной 
формулы так, чтобы полученная формула имела большую точность, 
чем формула Ньютона — Котеса с тем же числом узлов. В следую­
щем параграфе рассматривается один из методов, основанных на 
.выборе узлов квадратурной формулы, а именно метод Гаусса. Он 
приводит к квадратурным формулам с положительными коэффи­
циентами при любых 
п
и существенно более точным, нежели форму­
лы Ньютона — Котеса.
§ 3. Метод Гаусса вычисления определенных интегралов
Т. Постановка задачи. В предыдущем параграфе предполага­
лось, что узлы квадратурных формул заданы заранее. Было пока­
зано, что если использовать 
п
узлов интерполяции, то получим ква­
дратурные формулы, точные для алгебраических многочленов сте­
пени 
п
—1. Оказывается, что за счет выбора узлов можно получить 
■квадратурные формулы, которые будут точными и для многочленов 
степени выше 
п
—1. Рассмотрим следующую задачу: построить ква­
дратурную формулу
Ь 
п
$Р 
( x ) f ( x ) d x ^ ' 2 } ckf ( x k),
 
(I)

k = i
которая при заданном 
п
была бы точна для алгебраического много­
члена возможно большей степени. Обратим внимание, что здесь в 
отличие от § 2 для удобства изложения нумерация узлов начинает­
ся с 
k =
1.
В настоящем параграфе будет показано, что такие квадратур­
ные формулы существуют. Они называются 
квадратурными форму­
лами наивысшей алгебраической степени точности
или 
формулами
Гаусса.
Эти формулы точны для любого алгебраического многочле­
на степени 2
п
— 1.
Итак, потребуем, чтобы квадратурная формула (1) была точна 
для любого алгебраического многочлена степени 
ш.
Это эквива­
лентно требованию, чтобы формула была точна для функций 
f(x)
=
= х а, а = 0, 
ш.
Отсюда получаем условия
п
Ь
^ CkX%= \.р{х) х?йх,
 
сс = 0, 1, . . . ,
т,
 
(2)
k = i
а
которые представляют собой нелинейную систему 
т+
I уравнений 
-относительно 2
п
неизвестных
Ci, С2, . . . , 
С п ,
Х 1 ,
Х 2, . . . , 
Х п .
Для того чтобы число уравнений равнялось числу неизвестных, 
.надо потребовать 
т = 2п
— 1. В дальнейшем будет показано, что си­
стема (2) при 
т = 2п
— I имеет единственное решение. Однако сна­
чала рассмотрим несколько частных случаев, когда решение систе­
мы (2) можно найти непосредственно.
180


Пусть p(jt) == 1, 
а=
—1, 
b —
1. При 
п=
1 получаем 
т =
1 и систе­
ма (2) принимает вид


Ci —

dx =
2, 
CiXi
= j
х dx
= О,
-1 
-1
т. е. приходим к известной формуле прямоугольников
j /(*)< **-2/(0),
-I
которая точна для любого многочлена первой степени.
При 
п =
2, т = 3 система (2) записывается в виде
^1 + ^2= 2, 
^2^2 = О»
“Ь ^2^2 :== 
~ ~ I C i X i
С $ Х
2 = 0 . 
о
Отсюда находим



Сг -
-- Со -- 1 у Xi --
~г~—
~ у Хп
-- --у



УЗ 
УЗ
т. е. получаем квадратурную формулу

Download 18,25 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   110   111   112   113   114   115   116   117   ...   257




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish