А. А. Самарский, А. В. Гулин

m
t i l l = ! J r
S
+
0
(/г“ - Ь1)-
i = l
(31)
rn
/!£ = / +
^ ь К + о ц ь ™ )
i = l
и, следовательно,
m
йЧ
-
=
s
w
(
h
° ( C r 1).
i = l
Далее, подставляя полученную разность в (29) при 
} = 1
и учи­
тывая (31), получим
пг 
тп
= / + 2
+ — Ц у - s ^
+ : ° ( С п .
i=i
1 ~ ■;=/
т. е.
/ « ^ = 7 + 2
а/
а/
(;)ьа£ 
ч — ч
i = l
Отсюда получаем
1 — 4
i=/+i
т. е. равенство (30) выполняется с / = /+ 1, причем
ь
г
ь
р
,
t = 7 + 1, 
m.
+ 0(/гДГ1)-
1 — 4
Л ем ма 1 доказана.
171

---

Из леммы следует, что суммы 
совпадают с интегралом 
I
kOh '
с точностью до величин 
О (И. 1),т.
е. порядок точности повышается 
по сравнению с исходной формулой в 
aja.!
раз.
Изложенный метод повышения точности называется 
методом
экстраполяции Ричардсона.
Его можно применять не только к 
квадратурным формулам, но и к самым различным сеточным функ­
циям, если только для них существуют асимптотические разложе­
ния по степеням 
h.
Подробное изложение метода экстраполяции по 
Ричардсону содержится в книге [23]. Применительно к формуле 
трапеций данный метод называется 
методом Ромберга.
Существу­
ют стандартные программы вычисления определенных интегралов 
методом Ромберга. Пример, приведенный в конце п. 4, является 
частным случаем метода (29), когда /„ — квадратурная сумма, со­
ответствующая методу трапеций, m = 1, 
<7
= 0,5.
Отметим еще, что для формулы трапеций
N
I
ж
h =
2 0,5 
if