А. А. Самарский, А. В. Гулин

=
—
(«i+2 
—
4
U i + i
+
6
Ui
— 4«i_! 
-} - 
H
1
-
2
). 
ft4
Как правило, значения функции м(х) в точках сетки сзЛ вычис­
ляются не точно, а с каким-то приближением. Например, элемен­
тарные трансцендентные функции вычисляются с помощью рядов, 
причем ряды заменяются конечными суммами. Другим источником 
погрешностей являются погрешности округления. Оказывается, что 
погрешность, возникающая при вычислении разностных отношений, 
намного превосходит погрешность в задании значений функции 
и(х)
и даже может неограниченно возрастать при стремлении шага
186

---

сетки 
h
к нулю. Поэтому операцию вычисления разностных отноше­
ний называют некорректной. Поясним причину некорректности на 
примере вычисления разностного отношения 
u - [ ==(ui
—ы
4
_,)//
1
.
Разностное отношение 
и - 1
хорошо приближает 
и'{х{)
только в 
том случае, когда шаг 
h
достаточно мал. Требование малости вели­
чины 
И,
находящейся в знаменателе разностного отношения, как 
раз и является причиной некорректности операции численного диф­
ференцирования. Действительно, пусть вместо точного значения 
uit
и
<-1
вычислены приближенные значения й; = щ + б ь u i-, = ai_, +
6
i- 1. 
Тогда вместо 
и-,
будет вычислена величина 
u - i
+ (б;—бi-,)/A. Сле­
довательно, погрешность в вычислении первой разностной произ­
водной окажется равной б - £ = (б;—б
t-i)/h.
В дальнейшем погрешности такого рода будем называть погреш­
ностями округления (хотя их реальная природа может быть иной).
Пусть известна граница б погрешностей б,-, 
6
,-
1
, т. е. |б; |=£
1
б,
| б,-! | г?;б. Тогда
I бг.; I < 26//i, 
(5)
причем эта оценка достигается при 
6
i= —
61_1
= б. Из оценки (5) 
видно, что вследствие малости 
h
погрешность, возникающая при 
вычислении первой разностной производной, значительно превосхо­
дит погрешность вычисления самой функции 
и(х).
Если б не за­
висит от 
h,
то погрешность 
6
- с неограниченно возрастает при Л-И).
Сказанное не означает, что нельзя пользоваться формулами чис­
ленного дифференцирования. Чтобы не происходило существенного 
понижения точности, надо следить за тем, чтобы погрешность округ­
ления имела тот же порядок, что и погрешность аппроксимации. 
Например, из (1) следует, что погрешность аппроксимации при 
замене 
и'(х)
отношением 
и - с
не превосходит величины 0,5/гЛ42, 
где 
М2=
max |и " ( х ) |. Естественно потребовать, чтобы и по-
грешность округления б-, была бы сравнима с погрешностью 
аппроксимации, например
26/A(
6
)
где 
М2
не зависит от 
h.
Это означает, что погрешность б при вычис­
лении значений функции «(лД должна быть величиной 
0
(й2). 
С другой стороны, неравенство (
6
) показывает, что если величина 
б задана и мы не можем ее менять, то вычисления надо проводить 
не с произвольно малым шагом 
h,
а с шагом, удовлетворяющим 
условию AlSsfto, где /г
0
= 2Уб
/М2.
При вычислении производных более высокого порядка, когда в 
знаменатель разностного отношения входит 
hh, k~>
1
, влияние неточ­
ности в задании 
и(х{)
сказывается еще сильнее. Например, при 
вычислении разностного отношения 
и~ххх
£ погрешность округления 
является величиной 
0
(
6
/i-4), где б — граница погрешности округ­
ления функции 
и(х).
В этом случае для того чтобы погрешность 
округления 
8%ххх i
была сравнима с погрешностью аппроксимации,
187

---

надо потребовать, чтобы 
h ^ h 0,
где 
h
0 = О(б1/:), либо проводить вы­
числение 
и(х{)
с погрешностью б 
= 0 ( h e).
Например, если 6^10~ 12, 
то шаг 
h
надо брать примерно равным 0,01. При этом погрешность 
аппроксимации и погрешность округления будут примерно равны­
ми 10~\
Вычисление производной 
и '
(х) по заданной функции 
и(х)
так­
же является некорректной операцией в том смысле, что для огра­
ниченной функции 
и(х)
производная 
и'(х)
может быть сколь угод­
но большой. Например, для u(x)=sincox имеем шах |ы ( х ) |^ 1 и
х^[а,Ь]
шах | 
и'
(х) | = | со |->-оо при <
й
->-
оо
.
*е[а,ц
Строгие определения корректности математической задачи