А. А. Самарский, А. В. Гулин

Рис. 16. Порядок исключения неизвестных в методе редукции
аналогичным образом. При этом необходимо предположить, что чис­
ло узлов 
N
является степенью двойки, 
N = 2m.
Прежде чем перехо­
дить к случаю произвольного т , рассмотрим для наглядности слу­
чай 
тп=4,
т. е. Л£= 16.
Обозначим через k номер этапа исключения неизвестных. При
k = 0
система уравнений совпадает с исходной и содержит значения 
неизвестных во всех внутренних узлах. На рис. 16 это соответст­
вует верхней горизонтальной черте, где кружочками отмечены но­
мера неизвестных 
yh
входящих в систему. На следующем этапе
419

---

(6=1) происходит исключение неизвестных с нечетными номерами, 
в результате чего получаем систему вида (3), содержащую значе­
ния неизвестных только в четных узлах. Этап 
k = \
изображен на 
рис. 16 второй сверху горизонтальной чертой. Стрелки указывают, 
какие неизвестные были исключены. На втором этапе (6 = 2) оста­
ется каждый четвертый узел и на заключительном этапе (й = 3) ос­
тается только одно уравнение, связывающее у8, у0, у1в. Поскольку 
Уо и у16 заданы (см. (2)), из последнего уравнения можно найти уа. 
Тем самым начинает осуществляться обратный ход в методе ис­
ключения. Зная уа, можно найти у4 и у12, далее — все неизвестные с 
четными номерами и, наконец, все остальные неизвестные.
Вернемся к общему случаю, когда 
N = 2 m.
Согласно (3), в ре­
зультате первого этапа исключения (
k = \ )
получаем систему урав­
нений
+
£ = 2, 4, 8, . . . , 2 т - 2 ,
(4)
где
С(1) = (С<0') 2—
2Е,
С<0) = С, 
(5)
Fl>) = F l-1 + CFt + Fc+1.
 
(6)
По индукции легко доказать, что на 
k -м
этапе исключения, 
k =
1, 2, . . ., m, получаем систему
1 -
 
С * ~ \ + у . ^ =
-
 
F t 1',
 
(7 )
i = 2*-‘, 3 ■
2ft- ‘, . . . ,
2m
—
2h~',
Уо—у
1> У»= Р-2>
где матрицы 
С {к~1>
и векторы 
F
находятся из рекуррентных со­
отношений
С(*’ = (С<4_1))2 — 
2Е, 
k
= 1, 2,. . „ я - 1 ,