А. А. Самарский, А. В. Гулин

§ 6. Метод редукции
1. 
Вывод основных формул. 
Метод редукции является прямым 
методом решения системы разностных уравнений, имеющих вид
Ух-i
—Q/i+1/i+i = —
Fь
j'= l, 2, . . . ,
N —
1, 
(1)
£/о
== М
-i, 
1/
jv
= (J-21 
(2)
где у, — искомые векторы размерности М, 
pt, р2— заданные век­
торы и 
С
— заданная квадратная матрица порядка 
М.
Принципи­
альным отличием данной системы от системы (1) из § 5 является 
независимость матрицы 
С
от индекса 
i
и равенство коэффициентов 
при 
и 
yi+l.
418

---

В основе метода редукции лежит специальный способ исключе­
ния неизвестных из системы (1). Запишем уравнение (1) в точках 
£—1 и £+1, т. е.
У 
1
-г
Q /i-l+i/i =
F
i-i 
1
J/i 
Cy
.i+1
-р £/i
+2
=
F
i+!,
и сложим эти уравнения. Тогда получим
£ / t - 2 - ) ~ 2 i / i —
С 
( г / i —! —|—r / i + i ) +
t / i + 2 = —
(F
M + f i + i ) .
откуда, учитывая, что
1Л—
1 Ч- 
Уг
+1 
F у
1 
Т,,
придем к уравнению
г/;_2— 
(C2—2E)yi+ y i+2= — (Fi^i
+
CFi+F
i+i) , 
(3)
связывающему значения искомого вектора в узлах одинаковой чет­
ности. В частности, если £ — четные, то проведено исключение не­
четных узлов. Далее этот процесс исключения можно продолжить
к 0 0~Т~Т~^~^~Т^В~Т^В~0~Ю ~11~^1Т1ТУв~Тб
к = 1
О 
2
в 
а 
10
 
12
 
1
* 
1
Б
к = 3 к-