А. А. Самарский, А. В. Гулин

§ 6. Решение разностного уравнения Пуассона
с использованием быстрого преобразования Фурье
В § 1 гл. 2 рассматривалась разностная аппроксимация задачи 
Дирихле для уравнения Пуассона
У7,хиц
+
Ут,х„ц
 — —
fУ’ 
ХУ
е
^
Здесь сщ— множество внутренних и 
y
h— множество граничных уз­
лов сетки
Qt,
= {*,■/ =
{Х\ \
4 ;)) | 
=
ihlt
4
п = jh2,
i = 0, 1, 
N t, j =
0, 1, 
iV2, 
haNa = la,
а = 1, 2}.
Разностная схема (1) представляет собой систему большого 
числа линейных алгебраических уравнений, матрица которой явля­
ется сильно разреженной, т. е. содержит значительно больше нуле­
вых элементов, чем ненулевых (в данном случае в каждой строке 
матрицы не более пяти ненулевых элементов). Решать такие систе­
мы уравнений с помощью численных методов, предназначенных для 
систем общего вида, нецелесообразно, а часто даже и невозможно 
из-за большого размера матрицы. Поэтому развиты специальные 
методы, прямые и итерационные, пригодные для решения двумер­
ных разностных уравнений. Они подробно рассматриваются в гл. 5, 
а сейчас мы познакомимся с одним способом решения задачи (
1
), 
сочетающим одномерную прогонку с методом Фурье. Заметим, что 
предположение об однородности граничных условий не ограничи­
вает общности, так как неоднородные условия Дирихле можно 
включить в правую часть подобно тому, как это было сделано в 
начале § 
1
для одномерного случая.
Рассмотрим одномерную задачу на собственные значения
Н( / + 1 ) - 2 М /-) + м / - 1 ) + Х[1(/)==0>
h%N
2 
=
/2, Ио == Рм2 7 0,
/ = 1. 2, . . . .
N i — l,
р
(/) =
р
( А
(
2
)
В § 1 было показано, что задача (2) имеет следующее решение:
nkxl'l
. 
4
. _о 
nkh<,_