А. А. Самарский, А. В. Гулин

<1>§ 1. Разностные схемы как операторные уравнения
1. 
Представление разностных схем в виде операторных уравне­
ний. 
Разностные схемы возникают в результате аппроксимаций той 
или иной задачи математической физики и предназначены для ее 
приближенного решения. Поэтому в теории разностных схем важ­
ное место занимают вопросы аппроксимации дифференциальных 
уравнений разностными и сходимости решений разностных задач 
к решениям исходных дифференциальных задач. Однако будучи 
построенной, разностная схема превращается в самостоятельный 
математический объект и может изучаться вне связи с породившей 
ее дифференциальной задачей. При этом отпадают проблемы
339

---

аппроксимации и сходимости и остается лишь проблема кор­
ректности разностной схемы, т. е. ее разрешимости и устой­
чивости.
Разностная схема представляет собой систему линейных алге­
браических уравнений. Ее всегда можно записать в векторной 
форме
/1у = ф, 
(1)
где 
А
— матрица системы, 
у
— искомый вектор и ср — заданный век­
тор, определяемый правыми частями разностных уравнений и до­
полнительными (начальными и граничными) условиями. Такая за­
пись наиболее удобна для стационарных разностных задач, в слу­
чае же двуслойных и трехслойных разностных схем будем исполь­
зовать другую форму записи (см. § 2, 3).
Уравнение (1) можно рассматривать также как операторное 
уравнение, где 
А
— линейный оператор, действующий в конечно­
мерном пространстве 
Н, у
— искомый элемент этого пространства 
и ф е й — заданный элемент. Для разностных схем характерно, что 
каждая схема определяет не одно уравнение (1), а целое семейство 
уравнений
(
2
)
зависящее от шага сетки 
h.
При каждом допустимом значении 
h
оператор 
Ah
действует в конечномерном пространстве 
Hh.
Размер­
ность пространства 
Hh
зависит от шага сетки 
h
и, как правило, не­
ограниченно возрастает при /г—>-0.
Приведем несколько примеров записи разностной схемы в виде 
операторного уравнения (2). Чтобы записать конкретную схему в 
виде (2), надо ввести соответствующим образом пространства 
Hh,
определить операторы 
Ah
и задать правые части ф,„ Следующий 
пример уже рассматривался в § 1 гл. 3.
П р и м е р 1. 
На
сетке
Qh = {х{=1к, i =
0, 1 
h N = l}
рассматривается разностная схема
y~xx,i
/ь 
^
П 2, . . . , 
N
1, 
у
q
= Pi, 
ум
=== Р-2-
Перепишем систему (3) в виде 
2Уг
h?
= /i, 
— УхХш1 — и, 
i = 2,3, . . . , N — 2,
(
3
)
(4)
~~ 
Уы- 2
+ 2Ум-1 
Ь?
'
/м-1,
где f i = /i + pi//t2, 
+ р2//г2. Введем пространства 
раз­
мерности 
N
—1, состоящие из функций 
у(х), 
заданных