А. А. Самарский, А. В. Гулин

 
Так, при 
т = 1
получаем метод Эйлера
Уп 
Уп
- 1 
f
— / л-
1
.
При /и = 2, 3, 4, 5 получаем соответственно следующие методы 
m-го порядка аппроксимации:
Уп — У
п- 1
_ з - 
* 
с 
т — п
т 
2 
2
—
^ (23/л-1 - 16/л-2 + 5/л-а), /я = 3,
Т 
12
- п~ Уп' 1 = - (55/л_1 - 59/„_2 + 3 7/л-з - 9/
л
- 4), m = 4,
т 
24
—
= ^ ( 1 9 0 1 / „ _ 1 - 2774/л-а + 2616/„_з —
— 1274/„_4 + 251/л-в), 
т = 5.
Для неявных m-шаговых методов Адамса
— ---- = ^о/л + (т/л-1 + . . . +
bmf п—
т
 
(17)
т
наивысший порядок аппроксимации равен 
т +
1. Коэффициенты 
метода (17) наивысшего порядка находятся из системы (11) с 
р =
= т + 1 . При т = 1 получаем метод второго порядка аппроксима­
ции
Уп — Уп-1 
т
— ~ (/л + /л-ij,
Р =
2,
235

---

«п - Уп-г = J _ (5 /д +
8 / д 1
_
f r_iU 
3t
т 
12
—
— = д т (9/п + 1 9 /^ - 5/
п
_2 + / п_3), р = 4,
т 
24
-Уп~ Уг1-1 = JL (251 /„ + 6 4 6 ^ - 264/п-2 + 1 06/я-з - 1 9/
я
_4), 
р = 5.
т 
720
н а з ы в а е м ы й м е т о д о м т р а п е ц и й . П р и т = 2, 3, 4 п о л у ч а е м с о о т в е т ­
с т в е н н о с л е д у ю щ и е м е т о д ы ( т + 1 ) - г о п о р я д к а а п п р о к с и м а ц и и :
Выписанные выше неявные методы содержат искомое значение 
нелинейно, поэтому для их реализации необходимо применять ите­
рационные методы. Например, для неявного метода Адамса четвер­
того порядка используется итерационный метод
y(S-l-l) — „
-■ т 
' 
^ ’) +
+ 1 9 / ( / „ - ! , р „ _ , ) — 5 /
У п -
2
)
+ /
( i n -
з , Р я - з ) ) ,
( 1 8 )
где s —номер итерации, s = 0, 1, . . . В качестве начального значе­
ния рп0) можно взять решение, полученное с помощью явного ме­
тода Адамса третьего порядка, т. е. метода
— 
U
1
" ' t "-1 = ^ (23/ (/„-!, Ря-Л - 16/ (/я-2, р„_2) + 5/ 
Ря-з)). (19)
Записывая (18) в виде
=
Уп)) + Р>
О
получаем, что если
д£
ду
^ М ,
то итерационный метод сходится
ЗтМ , ,
при условии----- < 1, которое выполнено при достаточно малом т.
8
Если в (18) ограничиться только одной итерацией s = 0, то по­
лучим метод, называемый методом предиктор — корректор (пред- 
сказывающе-исправляющий).