А. А. Самарский, А. В. Гулин

- - L
+ 
a iU i =
о, 
t -
dt 
' х 1
t > 0 ,
(9)
где at и 
аг
— положительные постоянные.
Система (9) имеет решение
и х
(/) = «! (0) 
е~а' \
«2 (/) = м2 (0) 
e~a’J ,
249

---

монотонно убывающее с ростом 
t.
Предположим, что 
а2
гораздо 
больше, чем 
аи
Тогда компонента 
u 2 ( t )
затухает гораздо быстрее, 
чем щ( 0 , и, начиная с некоторого 
t ,
поведение решения 
u ( t ) =
= { u i ( t ) , u 2 ( t ) }
почти полностью определяется компонентой 
U i ( t ) .
Однако оказывается, что при решении системы (9) разностным ме­
тодом шаг интегрирования т определяется, как правило, компонен­
той 
u z { t ) ,
не существенной с точки зрения поведения решения си­
стемы. Например, метод Эйлера
+
djU* =
О,
+
аги\
= О,
(
10
)
где 
и" = u,(t
n) , г = 1, 2, будет устойчив, если шаг т удовлетворяет 
одновременно двум неравенствам Tfli^2, 
%a2^L2.
Поскольку 
а{^>
^> а,> 0, условие устойчивости приводит к ограничению т==:2/й2.
Приведенный пример может показаться искусственным, так как 
ясно, что каждое из уравнений системы (9) следует решать незави­
симо одно от другого со своим шагом интегрирования т , / = 1, 2, 
т1^ 2 / а 1, 
т
2=£^2
/аг.
Однако аналогичные трудности возникают и при 
решении любой системы обыкновенных дифференциальных урав­
нений
— = Аи,
(И)
dt
если матрица этой системы имеет большой разброс собственных чи­
сел.