А. А. Самарский, А. В. Гулин

|s,i |^l.
Если же sii+1 = e, то si£ — кратный корень, и согласно условию кор­
ней выполняется строгое неравенство 
| s „ | < E
Но тогда при доста­
точно малом е имеем
| S
и
| + | sii,-i | <С 1 ■
Таким образом, выбирая е достаточно малым, получим |[S |lc^ 
-s^l. Введем норму вектора
ll(22)
где 
Q
определено согласно (21). Тогда получим ||S ||,= ||S||C^ 1. 
■Лемма 1 доказана.
Завершим теперь доказательство теоремы 1. Покажем, что ус­
ловие корней достаточно для устойчивости уравнения (8) по на­
чальным данным.
Из уравнения (19), учитывая лемму 1, получим неравенство
I * п
- 1
 II * -
и,
следовательно,
IIKJI-OIEm-il!., 
п=т, т+
1, . . .
(23)
По определению (22) нормы || - 1|. имеем
l!V|j. = | | Q E | | c ^ l l Q I | c |!E!ic.
242

---

С другой стороны, для любой невырожденной матрицы 
Q
спра­
ведливо тождество
V=Q~lQV,
из которого следует оценка
Таким образом, если норма ||-||. определена равенством (22), 
то выполняются оценки
(IIQ-'y-'l^clKIIFII.^IIQIicilFllc. 
(24)
Из (23) и (24) получаем
ilV Jc^A TIIV ^IIc, 
(25)
где Afi= llQ-'llcIlQIlc. Заметим, что константа Aft не зависит от 
п.
Из (25) следует неравенство
| Уп | ^ 44j шах |и/|, 
(26)
означающее устойчивость уравнения (8) по начальным данным. 
Теорема 1 полностью доказана.
4. Оценка решения неоднородного уравнения. Рассмотрим за­
дачу Коши для неоднородного разностного уравнения
ЯаУп
+
GiUti-i
+ • • ■+ 
(27)
где 
п = т, т+
1........ величины 
у0, у и 
. . . ,
ym- t
заданы, правая часть
g h,
& = 0, 1, . . . — заданная функция. Если 
ааФ0,
то для каждой пра­
вой части решение задачи Коши существует и единственно. Оно мо­
жет быть найдено по рекуррентной формуле