|
§ 4. Сходимость и оценка погрешности
многошагового разностного метода*)
1. Уравнение для погрешности.
Для задачи Коши
~
), / > 0 ,
U(0)=:Uo
(1)
at
*) При первом чтении этот параграф можно опустить.
236
рассмотрим m-шаговый разностный метод
-------------------------------------------' =
bJ (fn, Уп)
+
т
+
bif (tn-
1,
Уп-
1) + • • • +
b,nf
(t n-m, Уп-т),
(2)
где
n = m , m +
1 ,
. . . , заданы начальные значения
y 0, y u
.
. . ,
В настоящем параграфе выясняются условия, при которых схо
дится метод (2) и даются оценки погрешности z„ = y„—
u ( t n )
в лю
бой момент времени
t n
=
n x , п ^ т ,
через начальные погрешности
20)
z ,
........
z m- t
и через погрешность аппроксимации.
Получим уравнение, которому удовлетворяет погрешность
z n —
= y n—u (tn) .
Подставляя в левую часть уравнения (2) вместо
у,
выражения
u ( t j ) + Z j , j
=
n , п
— 1 , . . . ,
п
—
т ,
получим
°0гг, + а
1
гя
- 1
+ • • • +
атгп-т _
__
а0ип + а
1
ип
- 1
+ • ■ ■ +
атип-т
_j_
Т
Т
-f"
bJ
(/ft,
Уп
) +
bi f (tn-
i,
Уп—i)
“h • • • “Ь
bmf (tn-m
i
Уп—'п)»
Далее, добавим к правой части этого уравнения и вычтем из нее
выражение
b 0f { t n, и п ) +
b
,
f
+
b
mf { t
Тогда уравнение для погрешности примет вид
+
- • ■ • + атгп-т
-----------------------------------= фл-т
a — m i
О-
+
ф п - т ,
(
3
)
п = т, т +
1,....
где через ф„_т обозначена погрешность аппроксимации
аои п
4 “
a i ^ n
—1
+
+
а тУп—т
,
Yrt-rrt--- -------------------------------------------------------- Г
т
+
b 0f
{tn, U-n)
+
b J
(tn-
1
,
un-
1) +
. . .
+
bmf (tn- tn$ U-n-tn)
(4)
и через фп—
m — функция
фл-m =
Ьа (f (tn
,
У п)
f ( i n ,
Un))
“b
b i
(f,((n-
1
,
У п -
1
)
—
/
( h - i ,
Un-i))
+
. . •
. . .
b m
(f (tn-m,
У п -т )
f (t
(5)
Погрешность аппроксимации фп_т оценивалась в п. 2 § 3, где
были найдены условия p -то порядка аппроксимации. В частности,
при выполнении этих условий фп_т-»-0 при т-»-0.
Функция ф„_т, входящая в правую часть уравнения (3), зави
сит нелинейно от погрешности zh j= n , п
— 1, . . . ,
п
—
ш.
Вид нели
нейности определяется функцией
f(t,
и). В дальнейшем будем
предполагать, что
f(t,
и) удовлетворяет условию Липшица по вто
рому аргументу, т. е.
\ f ( t ,
u j —fit, и2) I ^ L \ u — и2\
(6)
для всех
t,
и,, иг из рассматриваемой области. Тогда из
(5)
следует,
237
что для функции ср„-т выполнена оценка
| фл-т|
^~bL(
|z„ | + | Zn-! |
I 2n-m+l | + | Zn-m | ) ,
(7)
где
b =
max ( |
b0
1
,
1 1
, . . . , |
bm
| ).
В дальнейшем будет получена оценка решения
z„
уравнения (3)
через z0,
Z\,
. . . ,
zm- t и \pjt j = О,
1
,
,
n
—
m, из которой будет сле
довать сходимость метода (2). Предварительно нам потребуются
некоторые сведения из теории разностных уравнений.
2.
Однородное разностное уравнение с постоянными коэффи
циентами. Частные решения.
Рассмотрим разностное уравнение
a0vn+alv„-,+ . . . +amv„-m =
0,
n = m, m +
1
, . . . .
(8)
коэффициенты которого а 0,
at, . . . , ат
не зависят от
п.
Будем искать частные решения уравнения (
8
), имеющие вид
vn = q",
где
<7
— число, подлежащее определению. Подставляя
vn- h= qn- h, k = Q,
1
, . . . ,
т,
в (
8
) и сокращая на
qn~m,
получим урав
нение
a,qm+alqm- 1+ ....+ a m-iq+am=Q,
(9)
которое называется характеристическим уравнением, соответству
ющим разностному уравнению (
8
). Многочлен
F (q)
= fl
0
<
7
m+ a
1
<
7
m_1+ ...
+am- tq+am
(10)
называется характеристическим многочленом разностного уравне
ния (
8
).
Таким образом, разностное уравнение (
8
) имеет решение
qn
тогда и только тогда, когда
q
является корнем характеристическо
го уравнения (10). Более того, если корень
q
имеет кратность г
2
^
2
>sl, то разностное уравнение (
8
) имеет частные решения
vn = rii
7
",
7 = 0, 1 ,----г— 1.
Докажем последнее утверждение. Подставляя о „ _ * = ( п —
k ) l q n~h в (
8
) и
сокращая на <
7
n -m , получаем уравнение
2
a k q m ~ k
( л -
к ) 1
=
0 ,
( 1 1 )
k-Q
которое при / = 0 совпадает с характеристическим уравнением (9). Представим
многочлен
т
2
akqm~k (П - к)'
(
1 2
)
k~Q
в виде линейной комбинации характеристического многочлена (
1 0
) и его произ-
водных
FW(q), i = 1 , 2 , . . . , / — 1.
Для этого воспользуемся сначала разложением по формуле бинома Ньютона,
/
(п — k)! = [(л — т) + (т — к)]' =
2
с /
(п ~ тУ (т — k)'~l ,
1=0
238
т
I
2
ak (n — k)fqm~k = 2 Су (л — т)1 Fу_, (?).
(13)
А=о
1=о
где
т
FM (?) = ^
- *)/_i V
”- *-
/ = 0, 1, . . . , /,
(14)
/е=о
причем Fofa)
5 3
^ (
0
).
Д алее, обозначим
2
= т —
k, / , -
1
(
2
) =
2
j~*
и
запишем многочлен F j_ i(
0
)
в виде
т
р н (?) =
2
U-i (*) at s m~k.
k=o
Интерполируем функцию
f j - i ( z) алгебраическим многочленом степени j—I
по узлам
2
, = «,
1
=
0
, 1,
j—I. В данном случае погрешность интерполяции
тождественно равна
нулю, так
как
f t - i ( z ) = z ’~ l — многочлен степени / —I.
Поэтому согласно интерполяционной формуле Ньютона имеем
Н
fj-l (г) = //_ / (z0) +
2
fi -l (zo-
2
i>
■ ■ < г д (г — го) ■ • ■ (г — г
L),
i=i
где
fi-i(Za,
zi) — разделенная разность (-го порядка функции z>~‘, построен
ная по узлам z a = а , а = 0 , 1,
£. При
l < j имеем f } - !(z0) = z F~t = 0 и
М
f i - l (г) =
2
^Ы (г°.......... г() (z — г0)
(г — Z ..J .
( = 1
Подставляя сюда
г = т —k, получим при K j
i-i
(m — Л)м =
2
/ / - / (го.......... *,)
(т — k) (т — k —
1
) . . . (m —
k — (г —
1
)).
l = i
где Су =
^
- * -- , Су = 1. Тогда получим
И т а к .
/-<
F(-i'(qY=
2
k
2
di./-t(m — ® (m ~ k ~
0
• • •
(m — k — (t —
l ) ) ,
A=o
i—l
( =
0
, l , . . . .
7
—
1
.
г д е о б о з н а ч е н о (f(, j _ i = ^ _ i ( Z o , z b . . . , z ( ) ,
С д р у г о й с т о р о н ы , д л я п р о и з в о д н ы х
F(l,(q)
м н о г о ч л е н а ( 1 0 ) и м е е м
( 1 5 )
qlF«> (?)
=
' 2
(m — k)(m — k — \) . . . (m — k — (i —
1
))
akqm~k,
k=0
1=1, 2, ....
m.
С о п о с т а в л я я ( 1 5 ) и ( 1 6 ) , п о л у ч и м
i-i
FH (q)
= 2
du - iqiFlC)
(?)■
1
= °- 1......../ - 1.
(
16
)
239
Поэтому тождество
(13)
можно переписать
в
виде
m
/-1
1 - 1
2 ak(n~ W qm~k = (n - m)> F (9) + 2 Cj (я - m)12 d ^ F ^ (q) =
Л—0
i=0
= (» - « ) '
F (9) + 2 9If(l) (9) ( 2
C \ d l . i - l {n
~ т П '
£=i
\l = o
/
Итак, получено следующее представление многочлена (12) в виде линейной
комбинации характеристического многочлена
F(q) и его производных:
т
j
2
akq m~k (п - k)> = (п - т)> F (q) + 2 brfF® (
fe—
о
1=1
(17)
где
=
2
(n~ m) !d>,
1
-
1
, a d i , j - i — разделенная разность функции
г>~1, по-
1=0
строенная по узлам z
0
= 0 ,
Z \ = 1......... Z i = i .
Если
q — корень кратности г характеристического уравнения (9), тс
F(q)
=
— О, . . . , F
7
) = 0 и правая часть уравнения (17) обращается в нуль при / = 1,
/ = 2 , . . . . / = л — 1. Следовательно, функции
q, nqn, . . . . nT~'qn являются реше
ниями разностного уравнения (
8
).
3.
Однородное разностное уравнение с постоянными коэффи
Do'stlaringiz bilan baham: |
